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,2,第二节 可分离变量的微分方程,形如,的一阶微分方程叫做已分离变量方程 .,设 是方程的解 ,两边积分, 则有,即,(称为通积分),形如,的方程都叫做可分离变量方程 .,可化为已分离变量形式,求解.,则有恒等式,或,3,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,令,( C 为任意常数 ),或,说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可,能增、减解.,如此例, y = 0 也是原 方程的解 , 但在变量 分离时丢失了此解.,4,例2. 解下述初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,5,求方程 的通解 .,解法 1：分离变量,或,( C 0 ),解法 2: 令,则,故有,积分,( C 为任意常数 ),即,6,例4. 求下述微分方程的通解,解: 令,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),即,7,求解微分方程,为所求解.,8,例6. 已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原子,的含量 M 成正比 ,求在衰变,过程中铀含量 M(t) 随时间 t 的变化规律.,解: 根据题意 , 有,(初始条件),对方程分离变量,得,即,利用初始条件, 得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知 t = 0 时铀的含量为,9,例7. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,成正比 ,求降落伞下落速度与时间的函数关系.,解: 根据牛顿第二定律列方程,初始条件为:,对方程分离变量,然后积分, 得,得,利用初始条件,得,代入上式后化简, 得特解,说明:,跳伞后阶段接近于等速运动.,并设降落伞离开跳伞塔时 ( t = 0 ) 速度为 0 ,10,(1) 找出事物的共性及可以贯穿于全过程的规律列方程,常用的方法:,1) 根据几何关系列方程,2) 根据物理规律列方程,3) 根据微量分析平衡关系列方程,(2) 利用反映事物个性的特殊状态确定定解条件,(3) 求微分方程的通解 , 并根据定解条件确定特解 .,2、 解微分方程应用题的方法和步骤,内容小结,1、可分离变量方程的求解方法:,分离变量后积分 ;,根据定解条件定常数 .,11,习题12-2 P 269 1 (1) , (5) , (7) , (10); 2 (3), (4) ; 4 ; 5 ; 6,12,思考与练习,求下列
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