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文档简介

本节介绍几种特殊的高阶方程，它们的共同特点是经过适当的变量代换可将其化成较低阶的方程来求解。,可降阶的高阶微分方程,前面介绍了五种标准类型的一阶方程及其求解方法，但是能用初等解法求解的方程为数相当有限，特别是高阶方程，除去一些特殊情况可用降阶法求解，一般都没有初等解法，,以二阶方程,为例展开讨论,重点讨论能将二阶导数解出的情况,如果我们设法作变量代换把它从二阶降至一阶，就有可能应用前节中所介绍的方法来求解,一、 型,特点：,右端不含,仅是 x 的函数,解法：,将,作为新的未知函数,降阶,令,有,变量可分离的一阶方程,积分,即,再积分,对 n 阶方程,同理,令,积分得,如此连续积分n 次即得原方程的含有n个任意常数的通解,一般情况,特点：,解法：,z 的(n-k)阶方程,可得通解.,例1,解,例 2,解,代入原方程,解线性方程, 得,两端积分,得,原方程通解为,二、 型,特点：,右端不含 y,解法：,降阶,令,代入原方程得,若已求得其通解为,回代,得,变量可分离的一阶方程,积分得,例3,解方程,解,令,分离变量得,即,由,由,故,解方程,解,即,例4,三、 型,特点：,右端不含 x,降阶,解法：,令,由复合函数求导法则得,代入原方程得,这是一个关于 y ，p 的一阶方程,若已求得它的通解为,变量可分离的一阶方程,积分得,即得原方程的通解,一般情况,特点：,解法：,求得其解为,原方程通解为,例5,解方程,解,令,若,即,积分得,即,或,若,则,包含在通解中,如一方程既属于不含 x 型,又属于不含 y 型,则一般而言,若两边可消去 p 作为不含 x 型（类型三）来解较简单,若两边不可消去 p 作为不含 y 型（类型二）来解较简单,注,例6,解方程,解,令,例 7,解一,代入原方程得,原方程通解为,解二,从而通解为,解三,原方程变为,两边积分,得,原方程通解为,四、恰当导数方程,特点,解法：,类似于全微分方程可降低一阶,再设法求解这个方程.,例 8,解,将方程写成,积分后得通解,注意:,这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.,五、齐次方程,特点：,解法：,例 9,解,代入原方程,得,原方程通解为,补充题:,解,代入原方程,得,原方程通解为,例10,六、小结,解法,通过代换将其化成较低阶的方程来求解.,
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