随机变量的数学期望.ppt

第四章 随机变量的数字特征,本章主要学习内容,一、随机变量的数学期望 二、随机变量的方差和标准差 三、常见分布的数学期望和方差 四、随机变量的相关系数和相关性 五、随机变量的矩,第一节、随机变量的数学期望,1、数学期望的定义 在引进数学期望的定义之前，我们 首先分析统计数据的平均值的算法设x1 , x2 , xm是随机 变量X的全部m个可能值， u1 , u2 , un是对X的n次重复观 测取得的n个数据，每个ui(i=1,2,n)等于x1 , x2 , xm中某 一个xk (k= 1,2,m)；设xk在数据u1 , u2 , un中恰好出现了 vk (k= 1,2,m)次，则vk称做xk在u1 , u2 , un中出现的频数 （次数），而fk = vk / n称做xk在u1 , u2 , un中出现的频率,数据u1 , u2 , un的算术平均值为,于是，得X的频率分布,其中三个和式分别给出了算术平均值的三种基本形式： 简单算术平均值、频数平均值和频率平均值由频率的 稳定性知，当观测次数n充分大时，随机变量X取xk为值 的频率fk ，近似等于X取xk为值的概率：,因此，如果将频率平均值中的频率换成相应的概率，即可 得到概率平均值由此可以引出离散型随机变量的数学期 望的定义，并且容易推广到连续型随机变量,离散型随机变量的数学期望 设随机变量X的概率分布 为PX= xk= pk(k=1,2,)，称,为X的数学期望或概率平均值，如果等式右侧的和式存在， 否则认为数学期望不存在,(2) 连续型随机变量的数学期望 设随机变量X的概率密 度为f(x)，则称,为X的数学期望或概率平均值，如果等式右侧的积分 绝对收敛,2、随机变量的函数的数学期望 设y=g(x)为连续函数或分 段连续函数，而X是任一随机变量，则函数Y=g(X)也是随机 变量假如知道Y的概率分布，则可以按定义求其数学期望,可以证明，在Y的概率分布未知的情况下，可以通过随机变 量X的概率分布直接求EY=Eg(X)；同样，对于二元函数z=g (x,y)，随机变量Z=g(X,Y)的数学期望，可以通过随机变量X 和Y的联合概率分布来求，而不必求随机变量Z的概率分布,一元函数的数学期望 Y=g(X)的数学期望按如下公 式计算：,其中对于离散型变量X，表示对其的一切可能值求xk 和；对于连续型变量X，f(x)是其概率密度要求等式右 侧的级数和积分绝对收敛,连续,(2) 二元函数的数学期望 Z=g(X,Y)的数学期望按如下公 式计算：,要求等式右侧的级数和积分绝对收敛,例4.1 已知随机变量X的分布函数为：,连续,求,解 由分布函数，可得随机变量X的概率分布,因此,例4.3 一台设备在一个工作日内出现故障的概率为0.02， 并且一旦出现故障要全天停机进行维修假设在一周五 个工作日内无故障、出现一次故障、出现两次、三次和 三次以上故障时，可创利润相应为10，5，0和2万元， 试求一周五个工作日的期望利润,解 以v表示一周五个工作日内出现故障的天数；以X表 示一周五个工作日所创的利润由条件知,易见，v服从参数为（5, 0.02）二项分布，因此,于是，一周五个工作日的期望利润为,即一周五个工作日可创利润的期望值为9.50万元,3、数学期望的性质和运算 常数的数学期望等于同一常数：对于任意常数C， 有EX=C； (2) 常数可以从期望符号“E”下提出来：对于任意常数 ，有EX=EX；,(3) 任意个随机变量x1 , x2 , xm之和的数学期望, 等于它们 的期望之和：,(4) 独立的随机变量x1 , x2 , xm乘积的数学期望, 等于它们 的期望之乘积：,例4.4 假设n个信封内分别装有发给n个考生的录取 通知书，但信封上各收信人的地址是随机填写的 以X表示收到自己通知书的人数，求X的数学期望,解 记Ak =第k封信的地址与内容一致第k个人的通知 书随意装入n个信封中的一个信封，恰好装进写有其地址 的信封的概率等于/n，故P(Ak)=/n引进随机变量,则X= u1 + u2 + + un 从而，有,例4.6 假设随机变量X1 , X2 , Xm相互独立且