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第一节 常数项级数的概念,一、问题的提出,二、级数的概念,三、基本性质,五、小结 思考题,四、收敛的必要条件,一、问题的提出,1. 计算圆的面积,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 形的面积,二、级数的概念,1. 级数的定义:,(常数项)无穷级数,一般项,部分和数列,级数的部分和,2. 级数的收敛与发散:,余项,无穷级数收敛性举例：Koch雪花.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对,称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此,类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到,了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”,第一次分叉：,依次类推,播放,观察雪花分形过程,周长为,面积为,第 次分叉：,于是有,结论：雪花的周长是无界的，而面积有界,雪花的面积存在极限（收敛）,解,例1 讨论等比级数(几何级数),的收敛性.,收敛,发散,发散,发散,综上,解,例2 判别无穷级数,的收敛性,三、基本性质,结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变.,结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减.,证明,类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.,证明,注意,收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.,收敛,发散,四、收敛的必要条件,证明,级数收敛的必要条件:,注意,1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;,发散,2.必要条件不充分.,讨论,8项,4项,2项,2项,项,由性质4推论,调和级数发散.,五、小结,常数项级数的基本概念,基本审敛法,思考题,思考题解答,能由柯西审敛原理即知,练习题,练习题答案,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,观察雪
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