（浙江专用）高考数学第四章函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用教案（含解析）.docx

第四节 函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)振幅周期频率相位初相ATfx2用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xx02yAsin(x)0A0A03由函数ysin x的图象变换得到yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法小题体验1若函数f(x)sin(0)的最小正周期为，则f()A1 B0C D 解析：选B由f(x)sin(0)的最小正周期为，得4.所以fsin0.2为了得到函数ycos的图象，只需将函数ysin 2x的图象()A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度解析：选D因为ysin 2xcos，所以为了得到函数ycos的图象，只需将函数ycoscos的图象向左平移个单位长度即可故选D.3函数ysin的振幅为_，周期为_，初相为_答案：41函数图象变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象2要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数3由yAsin x的图象得到yAsin(x)的图象时，需平移的单位数应为，而不是|.小题纠偏1把ysin x的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到ysin x的图象，则的值为_答案：2要得到函数ysin 2x的图象，只需把函数ysin的图象向右平移_个单位长度答案：典例引领某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x02xAsin(x)0550(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值；(3)说明函数f(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到的解：(1)根据表中已知数据，解得A5，2，数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数解析式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，则g(x)5sin.因为函数ysin x图象的对称中心为(k，0)，kZ，令2x2k，kZ，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，所以令，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.(3)把ysin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，得到ysin的图象，再把ysin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到ysin的图象，最后把ysin上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)，即可得到y5sin的图象由题悟法函数yAsin(x)(A0，0)的图象的两种作法五点法设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象图象变换法由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”提醒平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于x加减多少值即时应用1(2019宁波质检)若函数ysin(2x)(0)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称，则满足此条件的值为()A.B.C. D.解析：选C由题意知，函数ysin(2x)(0)关于直线x对称，2k(kZ)，k(kZ)，又0，.2把函数ycos 2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()解析：选A变换后的三角函数为ycos(x1)，结合四个选项可得A选项正确3把函数ysin(x)(0，|)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象表示的函数解析式为ysin x，则_，_.解析：把ysin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变)，所得的图象表示的函数解析式为ysin 2x，再将此函数图象向右平移个单位长度可得ysin 的图象，即ysin，所以2，.答案：2典例引领1(2018金华模拟)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则f的值为()ABC D1解析：选D由图象可得A，最小正周期T4，则2.又fsin，得，则f(x)sin，fsinsin1，故选D.2(2018嵊州高级中学期中)函数ysin(x)的部分图象如图所示，则_，_.解析：由图可知，所以T，解得2.因为当x时，函数有最大值1，所以由五点法可知，解得.答案：2由题悟法确定yAsin(x)b(A0，0)中参数的方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A，b；(2)求：确定函数的周期T，则可得；(3)求：常用的方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口具体如下：第一点图象上升时与x轴的交点x0第二点图象的“峰点”x第三点图象下降时与x轴的交点x第四点图象的“谷点”x第五点x2即时应用1将函数f(x)sin(2x)的图象向右平移(0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则的值可以是()A. B.C. D.解析：选BP在f(x)的图象上， f(0)sin . ，f(x)sin.g(x)sin.g(0)，sin.验证时，sinsinsin成立，故选B.2(2018宁波名校联考)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则将yf(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象解析式为()Aysin 2x BysinCysin Dycos 2x解析：选B由图可得，A1，所以T，解得2，当x时，函数f(x)取到最大值，由sin1，|，得，所以f(x)sin.将函数yf(x)的图象向右平移个单位长度后，得到的图象解析式为yfsin.典例引领(2018“绿色联盟”模拟)已知函数f(x)sin x(cos xsin x)(1)求f(x)的最小正周期；(2)若关于x的方程f(x)t在区间内有两个不相等的实数解，求实数t的取值范围解：(1)f(x)sin 2xcos 2xsin，故函数f(x)的最小正周期为T.(2)关于x的方程f(x)t在区间内有两个不相等的实数解，等价于yf(x)与yt的图象在区间内有两个不同的交点因为x，所以2x.因为ysin x在上是增函数，在上是减函数，所以f(x)在上是增函数，在上是减函数又因为f(0)0，f1，f，结合图象可知，t1，故实数t的取值范围为.由题悟法1三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路先将yf(x)化为yAsin(x)B的形式，再借助yAsin(x)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题2三角函数的零点、不等式问题的求解思路(1)把函数表达式转化为正弦型函数形式yAsin(x)B(A0，0)；(2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象；(3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题即时应用已知a(sin x，cos x)，b(cos x, cos x)，函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标；(2)当0x时，求函数f(x)的值域解：(1)f(x)sin xcos xcos2xsin 2x(cos 2x1)sin 2xcos 2xsin，f(x)的最小正周期为，令sin0，得2xk，kZ，x，kZ，故所求对称中心的坐标为，kZ.(2)0x，2x，sin1，故f(x)的值域为.典例引领某实验室一天的温度(单位：)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)10costsint，t0,24)则实验室这一天的最大温差为_.解析：因为f(t)102102sin，又0t24，所以t，所以1sin1.当t2时，sin1；当t14时，sin1.于是f(t)在0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ，最低温度为8 ，最大温差为4 .答案：4由题悟法三角函数模型在实际应用中体现的2个方面(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模即时应用1如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A5B6C8 D10解析：选C由题图可知3k2，即k5，y3sin5，ymax358.2电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数IAsin(t)的图象如图所示，则当t秒时，电流强度是()A5安 B5安C5安 D10安解析：选A由图象知A10，100.I10sin(100t)又为五点中的第二个点，100.I10sin，当t秒时，I5安一抓基础，多练小题做到眼疾手快1已知f(x)sin 2xcos 2x，在直角坐标系下利用“五点法”作f(x)在区间上的图象，应描出的关键点的横坐标依次是()A0，2B，0，C，D，0，解析：选C由题意知f(x)2sin，当x时，2x，当2x，0，时，x的值分别为，.2函数f(x)sin，xR的最小正周期为()A.BC2 D4解析：选D最小正周期为T4.3函数ysin在区间上的简图是()解析：选A令x0，得ysin，排除B、D.由f0，f0，排除C，故选A.4(2019东阳模拟)为了得到函数ycos 2x的图象，可以将函数ysin的图象()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度解析：选D因为ycos 2xsinsin 2，所以为了得到函数ycos 2x的图象，只需将函数ysinsin 2的图象向左平移个单位长度即可5(2016浙江高考)函数ysin x2的图象是()解析：选Dysin(x)2sin x2，函数为偶函数，可排除A项和C项；当x 时，ysin x21，而 ，且ysin1，故D项正确二保高考，全练题型做到高考达标1(2018金华十校联考)已知函数f(x)sin(xR，0)与g(x)cos(2x)的对称轴完全相同为了得到函数h(x)cos的图象，只需将函数yf(x)的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度解析：选A因为两函数的对称轴完全相同，所以两函数的周期一致，由此可得2，则f(x)sin，h(x)cos，且cossin，所以为了得到h(x)cos的图象，只需将yf(x)的图象向左平移个单位长度即可2已知函数f(x)sin(x)的最小正周期是，若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象()A关于直线x对称 B关于直线x对称C关于点对称 D关于点对称解析：选Bf(x)的最小正周期为，2，f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)sinsin的图象，又g(x)的图象关于原点对称，k，kZ，k，kZ，又|，f(x)sin.当x时，2x，A，C错误；当x时，2x，B正确，D错误3(2019潍坊统一考试)函数ysin 2xcos 2x的图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则的值为()A. B.C. D.解析：选B由题意知ysin 2xcos 2x2sin，其图象向右平移个单位长度后，得到函数g(x)2sin的图象，因为g(x)为偶函数，所以2k，kZ，所以，kZ，又因为，所以.4函数f(x)sin(x)(xR)的部分图象如图所示，如果x1，x2，且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)()A BCD1解析：选B由图可知，则T，2，又，f(x)的图象过点，即sin1，得，f(x)sin.而x1x2，f(x1x2)fsinsin .5若函数f(x)2sin x(0)在(0,2)上恰有两个极大值和一个极小值，则的取值范围是()A. B.C. D.解析：选A因为函数f(x)在(0,2)上恰有两个极大值和一个极小值，所以由正弦函数的图象可得T2T，即2，解得.6(2019丽水模拟)已知函数f(x)cos 2xsin 2x，则下列结论中正确的序号是_函数f(x)的图象关于直线x对称；函数f(x)的图象关于点对称；函数f(x)在区间上是增函数；将y2sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数f(x)的图象解析：f(x)cos 2xsin 2x2sin.令2xk，kZ，得x，kZ，当k1时，函数f(x)的图象的对称轴方程为x，所以正确；令2xk，kZ，得x，kZ，所以当k1时，函数f(x)的图象的对称中心是，所以正确；由2k2x2k，kZ，得kxk，kZ，所以当k0时，函数f(x)的单调递减区间为，所以错误；将函数y2sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数y2sin的图象，所以错误所以正确的序号是.答案：7已知函数f(x)3sin(0)和g(x)3cos(2x)的图象完全相同，若x，则f(x)的值域是_解析：f(x)3sin3cos3cos，易知2，则f(x)3sin，x，2x，f(x)3.答案：8已知角的终边经过点P(4,3)，函数f(x)sin (x)(0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为_解析：由角的终边经过点P(4,3)，可得cos ，sin .根据函数f(x)sin(x)(0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，可得周期为2，解得2，f(x)sin(2x)，fsincos .答案：9设函数f(x)sin2xsin xcos x(0)，且yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值；(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解：(1)f(x)sin2xsin xcos x sin 2xcos 2xsin 2xsin.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，即T4，又0，所以1.(2)由(1)知f(x)sin.当x 时，2x，所以sin1.因此1f(x)，故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，1.10(2019杭州二中模拟)已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间上的最值，并求出相应的x值解：(1)由图象可知，A2，T，所以2.所以f(x)2sin(2x)，因为f2sin2，|，所以.所以f(x)2sin.(2)因为x，所以2x，所以f(x)2sin1,2所以当2x，即x时，f(x)maxf2；当2x，即x0时，f(x)minf(0)1.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2016全国卷)已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为()A11 B9C7 D5解析：选B由题意得则2k1，kZ，或.若11，则，此时f(x)sin，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，不满足f(x)在区间上单调；若9，则，此时f(x)sin，满足f(x)在区间上单调递减，故选B.2已知函数f(x)2sin，g(x)mcos2m3(m0)，若对x1，x2，使得g(x1)f(x2)成立，则实数m的取值范围是_解析：当x时，2x，sin，当x时，函数f(x)2sin的值域为1,2当x时，2x，cos，当x时，函数g(x)mcos2m3(m0)的值域为.对x1，x2，使得g(x1)f(x2)成立，解得1m，即m.答案：3(2018浙江名校协作体考试)已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)的最小正周期为.(1)求的值；(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数yg(x)的图象，求函数yg(x)在区间上的最值解：(1)f(x)sin 2xsin，因为T，所以1.(2)因为f(x)sin，所以g(x)sin，当x时，4x，所以g(x)ming，g(x)maxg(0)1.命题点一同角三角函数的基本关系及诱导公式1(2018全国卷)已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2，则|ab|()ABCD1解析：选B由cos 2，得cos2 sin2，即，tan ，即，|ab|.故选B.2(2013浙江高考)已知R，sin 2cos ，则tan 2()A. BCD解析：选C两边平方，再同时除以cos2，得3tan28tan 30，tan 3或tan ，代入tan 2，得到tan 2.3(2018浙江高考)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin()的值；(2)若角满足sin()，求cos 的值解：(1)由角的终边过点P，得sin .所以sin()sin .(2)由角的终边过点P，得cos .由sin()，得cos().由()，得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .命题点二三角函数的图象与性质1(2018全国卷)函数f(x)的最小正周期为()A. BCD2解析：选C由已知得f(x)sin xcos xsin 2x，所以f(x)的最小正周期为T.2(2018天津高考)将函数ysin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数()A在区间上单调递增B在区间上单调递减C在区间上单调递增D在区间上单调递减解析：选A将函数ysin的图象向右平移个单位长度，得到函数ysinsin 2x的图象，则函数ysin 2x的一个单调递增区间为，一个单调递减区间为.由此可判断选项A正确3(2016全国卷)函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin解析：选A由图象知，故T，因此2.又图象的一个最高点坐标为，所以A2，且22k(kZ)，故2k(kZ)，结合选项可知y2sin.故选A.4(2018全国卷)若f(x)cos xsin x在a，a是减函数，则a的最大值是()A BCD解析：选Af(x)cos xsin xsin，当x，即x时，函数ysin单调递增，则f(x)sin单调递减函数f(x)在a，a是减函数，a，a，0a，a的最大值是.5(2018全国卷)