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文档简介
第四节 函数yAsin(x)的图象及三角函数模型的简单应用1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0,0)振幅周期频率相位初相ATfx2用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示:xx02yAsin(x)0A0A03由函数ysin x的图象变换得到yAsin(x)(A0,0)的图象的两种方法小题体验1若函数f(x)sin(0)的最小正周期为,则f()A1 B0C D 解析:选B由f(x)sin(0)的最小正周期为,得4.所以fsin0.2为了得到函数ycos的图象,只需将函数ysin 2x的图象()A向右平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向左平移个单位长度解析:选D因为ysin 2xcos,所以为了得到函数ycos的图象,只需将函数ycoscos的图象向左平移个单位长度即可故选D.3函数ysin的振幅为_,周期为_,初相为_答案:41函数图象变换要明确,要弄清楚是平移哪个函数的图象,得到哪个函数的图象2要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,应先利用诱导公式化为同名函数3由yAsin x的图象得到yAsin(x)的图象时,需平移的单位数应为,而不是|.小题纠偏1把ysin x的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到ysin x的图象,则的值为_答案:2要得到函数ysin 2x的图象,只需把函数ysin的图象向右平移_个单位长度答案:典例引领某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:x02xAsin(x)0550(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式;(2)将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度,得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为,求的最小值;(3)说明函数f(x)的图象可由ysin x的图象经过怎样的变换而得到的解:(1)根据表中已知数据,解得A5,2,数据补全如下表:x02xAsin(x)05050且函数解析式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin,则g(x)5sin.因为函数ysin x图象的对称中心为(k,0),kZ,令2x2k,kZ,解得x,kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称,所以令,解得,kZ.由0可知,当k1时,取得最小值.(3)把ysin x的图象上所有的点向右平移个单位长度,得到ysin的图象,再把ysin的图象上的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),得到ysin的图象,最后把ysin上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变),即可得到y5sin的图象由题悟法函数yAsin(x)(A0,0)的图象的两种作法五点法设zx,由z取0,2来求出相应的x,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象图象变换法由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象,有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”提醒平移变换和伸缩变换都是针对x而言,即x本身加减多少值,而不是依赖于x加减多少值即时应用1(2019宁波质检)若函数ysin(2x)(0)的图象向右平移个单位长度后关于y轴对称,则满足此条件的值为()A.B.C. D.解析:选C由题意知,函数ysin(2x)(0)关于直线x对称,2k(kZ),k(kZ),又0,.2把函数ycos 2x1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),然后向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度,得到的图象是()解析:选A变换后的三角函数为ycos(x1),结合四个选项可得A选项正确3把函数ysin(x)(0,|)的图象向左平移个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象表示的函数解析式为ysin x,则_,_.解析:把ysin x的图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),所得的图象表示的函数解析式为ysin 2x,再将此函数图象向右平移个单位长度可得ysin 的图象,即ysin,所以2,.答案:2典例引领1(2018金华模拟)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示,则f的值为()ABC D1解析:选D由图象可得A,最小正周期T4,则2.又fsin,得,则f(x)sin,fsinsin1,故选D.2(2018嵊州高级中学期中)函数ysin(x)的部分图象如图所示,则_,_.解析:由图可知,所以T,解得2.因为当x时,函数有最大值1,所以由五点法可知,解得.答案:2由题悟法确定yAsin(x)b(A0,0)中参数的方法(1)求A,b:确定函数的最大值M和最小值m,则A,b;(2)求:确定函数的周期T,则可得;(3)求:常用的方法有:代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)五点法:确定值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口具体如下:第一点图象上升时与x轴的交点x0第二点图象的“峰点”x第三点图象下降时与x轴的交点x第四点图象的“谷点”x第五点x2即时应用1将函数f(x)sin(2x)的图象向右平移(0)个单位长度后得到函数g(x)的图象,若f(x),g(x)的图象都经过点P,则的值可以是()A. B.C. D.解析:选BP在f(x)的图象上, f(0)sin . ,f(x)sin.g(x)sin.g(0),sin.验证时,sinsinsin成立,故选B.2(2018宁波名校联考)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示,则将yf(x)的图象向右平移个单位长度后,得到的图象解析式为()Aysin 2x BysinCysin Dycos 2x解析:选B由图可得,A1,所以T,解得2,当x时,函数f(x)取到最大值,由sin1,|,得,所以f(x)sin.将函数yf(x)的图象向右平移个单位长度后,得到的图象解析式为yfsin.典例引领(2018“绿色联盟”模拟)已知函数f(x)sin x(cos xsin x)(1)求f(x)的最小正周期;(2)若关于x的方程f(x)t在区间内有两个不相等的实数解,求实数t的取值范围解:(1)f(x)sin 2xcos 2xsin,故函数f(x)的最小正周期为T.(2)关于x的方程f(x)t在区间内有两个不相等的实数解,等价于yf(x)与yt的图象在区间内有两个不同的交点因为x,所以2x.因为ysin x在上是增函数,在上是减函数,所以f(x)在上是增函数,在上是减函数又因为f(0)0,f1,f,结合图象可知,t1,故实数t的取值范围为.由题悟法1三角函数的图象和性质的综合应用问题的求解思路先将yf(x)化为yAsin(x)B的形式,再借助yAsin(x)的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题2三角函数的零点、不等式问题的求解思路(1)把函数表达式转化为正弦型函数形式yAsin(x)B(A0,0);(2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象;(3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题即时应用已知a(sin x,cos x),b(cos x, cos x),函数f(x)ab.(1)求f(x)的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标;(2)当0x时,求函数f(x)的值域解:(1)f(x)sin xcos xcos2xsin 2x(cos 2x1)sin 2xcos 2xsin,f(x)的最小正周期为,令sin0,得2xk,kZ,x,kZ,故所求对称中心的坐标为,kZ.(2)0x,2x,sin1,故f(x)的值域为.典例引领某实验室一天的温度(单位:)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:f(t)10costsint,t0,24)则实验室这一天的最大温差为_.解析:因为f(t)102102sin,又0t24,所以t,所以1sin1.当t2时,sin1;当t14时,sin1.于是f(t)在0,24)上的最大值为12,最小值为8.故实验室这一天最高温度为12 ,最低温度为8 ,最大温差为4 .答案:4由题悟法三角函数模型在实际应用中体现的2个方面(1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则;(2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模即时应用1如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A5B6C8 D10解析:选C由题图可知3k2,即k5,y3sin5,ymax358.2电流强度I(安)随时间t(秒)变化的函数IAsin(t)的图象如图所示,则当t秒时,电流强度是()A5安 B5安C5安 D10安解析:选A由图象知A10,100.I10sin(100t)又为五点中的第二个点,100.I10sin,当t秒时,I5安一抓基础,多练小题做到眼疾手快1已知f(x)sin 2xcos 2x,在直角坐标系下利用“五点法”作f(x)在区间上的图象,应描出的关键点的横坐标依次是()A0,2B,0,C,D,0,解析:选C由题意知f(x)2sin,当x时,2x,当2x,0,时,x的值分别为,.2函数f(x)sin,xR的最小正周期为()A.BC2 D4解析:选D最小正周期为T4.3函数ysin在区间上的简图是()解析:选A令x0,得ysin,排除B、D.由f0,f0,排除C,故选A.4(2019东阳模拟)为了得到函数ycos 2x的图象,可以将函数ysin的图象()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度解析:选D因为ycos 2xsinsin 2,所以为了得到函数ycos 2x的图象,只需将函数ysinsin 2的图象向左平移个单位长度即可5(2016浙江高考)函数ysin x2的图象是()解析:选Dysin(x)2sin x2,函数为偶函数,可排除A项和C项;当x 时,ysin x21,而 ,且ysin1,故D项正确二保高考,全练题型做到高考达标1(2018金华十校联考)已知函数f(x)sin(xR,0)与g(x)cos(2x)的对称轴完全相同为了得到函数h(x)cos的图象,只需将函数yf(x)的图象()A向左平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向右平移个单位长度解析:选A因为两函数的对称轴完全相同,所以两函数的周期一致,由此可得2,则f(x)sin,h(x)cos,且cossin,所以为了得到h(x)cos的图象,只需将yf(x)的图象向左平移个单位长度即可2已知函数f(x)sin(x)的最小正周期是,若将f(x)的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称,则函数f(x)的图象()A关于直线x对称 B关于直线x对称C关于点对称 D关于点对称解析:选Bf(x)的最小正周期为,2,f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)sinsin的图象,又g(x)的图象关于原点对称,k,kZ,k,kZ,又|,f(x)sin.当x时,2x,A,C错误;当x时,2x,B正确,D错误3(2019潍坊统一考试)函数ysin 2xcos 2x的图象向右平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则的值为()A. B.C. D.解析:选B由题意知ysin 2xcos 2x2sin,其图象向右平移个单位长度后,得到函数g(x)2sin的图象,因为g(x)为偶函数,所以2k,kZ,所以,kZ,又因为,所以.4函数f(x)sin(x)(xR)的部分图象如图所示,如果x1,x2,且f(x1)f(x2),则f(x1x2)()A BCD1解析:选B由图可知,则T,2,又,f(x)的图象过点,即sin1,得,f(x)sin.而x1x2,f(x1x2)fsinsin .5若函数f(x)2sin x(0)在(0,2)上恰有两个极大值和一个极小值,则的取值范围是()A. B.C. D.解析:选A因为函数f(x)在(0,2)上恰有两个极大值和一个极小值,所以由正弦函数的图象可得T2T,即2,解得.6(2019丽水模拟)已知函数f(x)cos 2xsin 2x,则下列结论中正确的序号是_函数f(x)的图象关于直线x对称;函数f(x)的图象关于点对称;函数f(x)在区间上是增函数;将y2sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数f(x)的图象解析:f(x)cos 2xsin 2x2sin.令2xk,kZ,得x,kZ,当k1时,函数f(x)的图象的对称轴方程为x,所以正确;令2xk,kZ,得x,kZ,所以当k1时,函数f(x)的图象的对称中心是,所以正确;由2k2x2k,kZ,得kxk,kZ,所以当k0时,函数f(x)的单调递减区间为,所以错误;将函数y2sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数y2sin的图象,所以错误所以正确的序号是.答案:7已知函数f(x)3sin(0)和g(x)3cos(2x)的图象完全相同,若x,则f(x)的值域是_解析:f(x)3sin3cos3cos,易知2,则f(x)3sin,x,2x,f(x)3.答案:8已知角的终边经过点P(4,3),函数f(x)sin (x)(0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,则f的值为_解析:由角的终边经过点P(4,3),可得cos ,sin .根据函数f(x)sin(x)(0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于,可得周期为2,解得2,f(x)sin(2x),fsincos .答案:9设函数f(x)sin2xsin xcos x(0),且yf(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值;(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值解:(1)f(x)sin2xsin xcos x sin 2xcos 2xsin 2xsin.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,即T4,又0,所以1.(2)由(1)知f(x)sin.当x 时,2x,所以sin1.因此1f(x),故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为,1.10(2019杭州二中模拟)已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在区间上的最值,并求出相应的x值解:(1)由图象可知,A2,T,所以2.所以f(x)2sin(2x),因为f2sin2,|,所以.所以f(x)2sin.(2)因为x,所以2x,所以f(x)2sin1,2所以当2x,即x时,f(x)maxf2;当2x,即x0时,f(x)minf(0)1.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1(2016全国卷)已知函数f(x)sin(x),x为f(x)的零点,x为yf(x)图象的对称轴,且f(x)在上单调,则的最大值为()A11 B9C7 D5解析:选B由题意得则2k1,kZ,或.若11,则,此时f(x)sin,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,不满足f(x)在区间上单调;若9,则,此时f(x)sin,满足f(x)在区间上单调递减,故选B.2已知函数f(x)2sin,g(x)mcos2m3(m0),若对x1,x2,使得g(x1)f(x2)成立,则实数m的取值范围是_解析:当x时,2x,sin,当x时,函数f(x)2sin的值域为1,2当x时,2x,cos,当x时,函数g(x)mcos2m3(m0)的值域为.对x1,x2,使得g(x1)f(x2)成立,解得1m,即m.答案:3(2018浙江名校协作体考试)已知函数f(x)sin xcos xcos2x(0)的最小正周期为.(1)求的值;(2)将函数yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数yg(x)的图象,求函数yg(x)在区间上的最值解:(1)f(x)sin 2xsin,因为T,所以1.(2)因为f(x)sin,所以g(x)sin,当x时,4x,所以g(x)ming,g(x)maxg(0)1.命题点一同角三角函数的基本关系及诱导公式1(2018全国卷)已知角的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos 2,则|ab|()ABCD1解析:选B由cos 2,得cos2 sin2,即,tan ,即,|ab|.故选B.2(2013浙江高考)已知R,sin 2cos ,则tan 2()A. BCD解析:选C两边平方,再同时除以cos2,得3tan28tan 30,tan 3或tan ,代入tan 2,得到tan 2.3(2018浙江高考)已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.(1)求sin()的值;(2)若角满足sin(),求cos 的值解:(1)由角的终边过点P,得sin .所以sin()sin .(2)由角的终边过点P,得cos .由sin(),得cos().由(),得cos cos()cos sin()sin ,所以cos 或cos .命题点二三角函数的图象与性质1(2018全国卷)函数f(x)的最小正周期为()A. BCD2解析:选C由已知得f(x)sin xcos xsin 2x,所以f(x)的最小正周期为T.2(2018天津高考)将函数ysin的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数()A在区间上单调递增B在区间上单调递减C在区间上单调递增D在区间上单调递减解析:选A将函数ysin的图象向右平移个单位长度,得到函数ysinsin 2x的图象,则函数ysin 2x的一个单调递增区间为,一个单调递减区间为.由此可判断选项A正确3(2016全国卷)函数yAsin(x)的部分图象如图所示,则()Ay2sinBy2sinCy2sinDy2sin解析:选A由图象知,故T,因此2.又图象的一个最高点坐标为,所以A2,且22k(kZ),故2k(kZ),结合选项可知y2sin.故选A.4(2018全国卷)若f(x)cos xsin x在a,a是减函数,则a的最大值是()A BCD解析:选Af(x)cos xsin xsin,当x,即x时,函数ysin单调递增,则f(x)sin单调递减函数f(x)在a,a是减函数,a,a,0a,a的最大值是.5(2018全国卷)
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