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一、对坐标曲面积分的定义,第八节 对坐标的曲面积分,二、对坐标的曲面积分的计算,（第十章 第五节）,2,关于曲面,观察以下曲面的侧 (假设曲面是光滑的),曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,典型双侧曲面,曲面的分类:,1.双侧曲面;,2.单侧曲面.,3,莫比乌斯带,典型单侧曲面:,决定了侧的曲面称为有向曲面.,曲面法向量的指向决定曲面的侧.,内侧与外侧,左侧与右侧,下侧与上侧,前侧与后侧,5,有向曲面的投影问题:,（上侧）,（下侧）,（法向量垂直于z轴）,若在有向曲面上取一小块曲面,6,一、对坐标的曲面积分定义,实例: 计算流向曲面一侧的流量.,斜柱体的体积,求单位时间流过A的流体的质量,(假定密度为1).,1.设流速场为常向量,有向平面区域为A,7,2.设稳定流动的不可压缩流体(假定密度,为1的速度场由向量函数,给出,是速度场中的一片有向曲面,函数,都在上连续, 求在单位时间内流向指,定侧的流体的质量,在曲面上取一小块,利用元素法计算,记为另一种形式,对坐标的曲面积分.,流量微元,故流体流向指定一侧的流量为,对面积的曲面积分,对坐标曲面积分的定义,定义 设为光滑的有向曲面, 函数P,Q,R在,上有界，,注:,(1) 当,在有向光滑曲面上连续时,对坐标的曲面积分存在.,（2）当为封闭曲面时，记为,（3）向量形式,其中,称为有向曲面元,流体流向指定一侧的流量为,或,(4)对坐标的积分具有方向性,性质:,区域可加性,线性性,二、 计算法,被积函数,在上连续.,上具有一阶连续偏导数,为,下侧,下侧,对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.,上侧取“+”,下侧取“ ”,前侧取“+”,后侧取“ ”,右侧取“+”,左侧取“ ”,解,下侧,上侧,同理，得,故原积分,注,把三个积分合并,只向一个坐标面投影,转换公式,下侧,把两个积分合并, 只向坐标面xoy投影,分析,解,把两个积分合并,只向坐标面xoy投影,下侧,小 结,一、对坐标（第二类）曲面积分的定义,两类曲面积分的联系,指定侧的法向量,称为有向曲面元,向量形式,其中,二、计算方法,上侧取“+”,下侧取“ ”,前侧取“+”,后侧取“ ”,右侧取“+”,左侧取“ ”,思考题,思考题解答,此时 的左侧为负侧
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