有效改进数学教学.ppt

有效改进数学教学,章建跃 一、提高“理解数学”的水平,老师理解好数学是提高教学质量的前提。 理解数学概念的几个方面：从表面到本质把握概念的深层结构上的进步；从抽象到具体对抽象概念的形象描述，解读概念关键词，更多的典型、精彩的例子；从孤立到系统对概念之间的关系、联系的认识，有层次性、立体化的认识；等。 提高解读概念所反映的数学思想方法的能力是重点，同时也使教师专业化发展的抓手 。,理解好教材的编写意图,“不是教教材，而是用教材教”“脱离教材”，是针对“照本宣科”的； 教材的“基础性”与中考的“选拔性”有目标差异，但学好教材一定是中考取得好成绩的前提，教师的主要精力应当放在帮助学生熟练掌握教材内容上。,理解教材是当好数学教师的前提。 课本、课本，一科之本。课堂教学应“以课本为本”。 教辅资料不能作为教学依据；布置教辅资料上的题目时，教师自己应该先做一遍，题目不配套时，对学生学习会有大干扰。,例1 锐角三角函数概念概括过程的设计,目的：解直角三角形 课题的引入：从实际需要看（如比萨斜塔的倾斜问题）；从数学内部看（以往讨论了直角三角形边与边的关系、角与角的关系，边与角有没有确定的关系？）。 定性考察：从直角三角形全等的判定可知，Rt中，除直角外，任意给两个条件（至少一个是边），其余唯一确定。,“定量化”的过程设计,从最熟悉的直角三角形开始：无论 Rt的 大小如何，30所对的边是斜边的一半（本质特征）。 思考：由这个比值能干什么？当A = 30时，已知斜边可求A的对边，反之也可。 及时巩固：等腰直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比是多少？由这个比值能干什么？ 推广到一般：给定锐角A，A的对边与斜边的比值是否为一个确定的值？（注意引导学生理解条件什么不变、什么变）,下定义，用符号表示。 辨析定义：（1）A为RtABC的锐角， ABC的大小可以变化，但A的对边与斜边的比值不变，即对于每一个锐角A都有唯一确定的比值与之对应，这个比值叫做A的正弦；（2）符号sinA的理解一个由A唯一确定的数，例如sin30=0.5；（3）sinA的取值范围；等。 概念的应用：给直角三角形的边，求正弦值。掌握用定义解题的基本规范。,教材的编写意图,如何提出数学问题引导学生思考已经研究过什么，还可以研究什么； 从定性到定量数学的普遍方法； 从学生最熟悉的问题开始； 从另一个角度看问题旧问题新解释，数学发展的一种思路； 从特殊到一般、从具体到抽象的研究方法； 使学生经历概念形成的完整过程。,二、课堂教学的高立意与低起点,立意不高是普遍问题，许多教师的“匠气”太浓，课堂上题型、技巧太多，弥漫着“功利”，缺少思想、精神的追求，严重影响数学育人。 数学的“育人”功能如何体现？挖掘数学知识蕴含的价值观资源，在教学中将知识教学与价值观影响融为一体。 关键：提高思想性。 “技术”：加强“先行组织者”的使用。,例2 四边形的“先行组织者”,概括三角形中研究的问题、线索和基本方法：定义（组成元素、分类）三角形的性质（变化中的不变性、规律性，从度量关系和位置关系入手）三角形的全等（确定三角形的条件）特殊三角形的研究（角特殊直角三角形、边特殊等腰三角形，性质、判定）相似三角形（性质、判定） 目的：给学生一个类比对象，使他们知道研究的“基本套路”。,引导学生类比，思考“四边形”研究的问题、线索和方法等： 一般四边形：组成元素、度量（内角和、外角和）； 特殊四边形：从边的特殊性和角的特殊性入手； 边的特殊性平行四边形：性质和判定；“性质”研究的是在“平行四边形”的条件下，它的组成元素有什么普遍规律，如边的大小关系、内角的关系、对角线的关系等；“判定”研究的是具备什么条件的四边形才是平行四边形；其他度量问题；,特殊的平行四边形：角的特殊矩形，边的特殊菱形，边角都特殊正方形，都要研究性质和判定。 研究的方法：化归为三角形、平行线的性质等已有知识； 特殊的平行四边形的研究要注意特殊的三角形的知识：矩形直角三角形；菱形等腰三角形； 梯形,提高课堂教学的立意，是落实“教育中的科学发展观”，全面关注学生的发展。 当前，社会功利化、各级政府的教育行政主管部门等以升学率为主要考核标准的不良导向，导致教育的短期行为愈演愈烈，“全面关注”变成了“只关注分数”，而且为了分数可以不择手段竭泽而渔。,三、怎样才算“教完了”？,舍不得在概念、原理的发生发展过程上花时间“这样能教完吗？” 给学生吃“压缩饼干”： 基础知识“一个定义，三项注意”； 解题教学“题型教学”，解题技巧大杂烩，“一步到位”。,问题在那里？,不“准”或者是没有围绕概念的核心，或者教错了； 不“简”在细枝末节上下功夫，把简单问题复杂化了； 不“精”让学生在知识的外围重复训练，耗费学生大量时间、精力却达不到对知识的深入理解。,例3 “代数式”概念的一组练习,已知|5x+3|+(4x28xy+3y9)2=0，求5(4x28xy+3y1)的值； 已知a2+a1=0,则a2000+a1999 a1998= ； 已知 ，求 的值； 已知a:b=5:6，b:c=4:3，求 的值；,学生没有学比例式、分式、指数等概念，如何理解题意？！在代数式学习之初，要求学生用“变量代换”“整体”等思想方法解决问题，可能吗？ “教完了”应以学生是否理解为准，特别是以学生达到的数学双基的理解和熟练水平为标准（双基包括由内容反映的数学思想方法），而不是教师在课堂上有没有把内容“讲完”。 广种薄收是不负责任的，习题的针对性不强是水平不高的表现。 忙=心亡。,四、怎样才是抓“基础”,我国“双基”的优势正在丧失； 现象：（1）数学教学题型教学刺激反应（记忆、模范型学习）；（2）缺少概念的概括过程，以训练代替概念教学应用可以促进理解，但没有理解的应用是盲目的；（3）过分关注“题型”与“题型”对应的技巧是雕虫小技，无法穷尽，结果是“讲过练过的不一定会，没讲没练的一定不会”；等。,如何改变？,要强调知识及其蕴含的思想方法教学的重要性无知者无能； 不断回到概念去，从基本概念出发思考问题、解决问题； 加强概念的联系性，从概念的联系中寻找解决问题的新思路。 应追求解决问题的“根本大法”基本概念所蕴含的思想方法，强调思想指导下的操作。,例4 关于“配方法”,概念：把二次（三项）式配成一个含二项式的完全平方的式子 ax2+bx+c=a(x+b/2a) 2+(4acb2)/4a 依据：(a+b) 2=a 2+2ab+b2 步骤：（1）二次项系数变1；（2）加上并减去一次项系数一半的平方。 “配方法”是基本而重要的，在“三个二次”中有广泛应用。,一元二次方程的求根公式,从最简单的开始：x 2=a；变式：(xp) 2=q，并分析“能解”的原因（可以通过开方将方程“降次”）。 对于ax2+bx+c=0，通过与“变式”的比较，得到化归为(xp) 2=q就能解的思想方法，并让学生独立思考获得用“配方法”推导出求根公式。 这里要让学生形成一个“基本套路”：从特殊到一般，将复杂问题化归为简单问题，要注意化归的条件（完备性思维的严谨性）,二次函数y=ax2+bx+c的性质,沿用一元二次方程求根公式的“套路”，从最简单的y=x2开始，到y=ax2，再到y=a(xh)2+k ，最后到y=ax2+bx+c。 思想方法：“化归”到前一种情况。 研究工具：配方法。 研究的问题：开口方向、对称轴、顶点坐标、单调性（包括最大值、最小值）等，要让学生对为什么要研究这些性质有所感受。,“配方法”的灵活应用,“配方” “完全平方式”非负性 例：（1）无论m取何值，2x 2+(m1)x+(m4)=0都有两个不等实根。判别式是不等于0的“完全平方式”。 （2）已知x2+4y22x+4y+2=0，求x，y的值。一个方程两个未知量，一般是不定的，但特殊情况下可以，即实质是“方程组”，化归的方法是“配方得到完全平方式”。 ,五、提高概念的教学水平,问题：不重视概念教学，“一个定义，三项注意”式的抽象讲解，很快进入概念的综合应用。 概念教学的核心概括：将凝结在数学概念中的数学家的思维打开，以典型丰富的实例为载体，引导学生展开观察、分析各事例的属性、抽象概括共同本质属性，归纳得出数学概念。,概念教学的基本环节,典型丰富的具体例证属性的分析、比较、综合； 概括共同本质特征得到概念的本质属性； 下定义（准确的数学语言描述）； 概念的辨析以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义； 用概念作判断的具体事例形成用概念作判断的具体步骤； 概念的“精致”建立与相关概念的联系。,例5 无理数概念的教学,例6 “反比例函数”的教学,匀速运动路程固定，速度与时间的关系；商品总价固定，单价与商品数量的关系；长方形面积固定，长与宽的关系； 让学生概括共同本质特征； 下定义老师完成，让学生看书； 辨析：从反比例关系、函数两方面辨析概念，强调反例的使用，如让学生思考函数y=1/x2是不是反比例函数；,例题用概念作判断的“操作步骤”，强调“自变量x与相应的函数值y是否成反比例关系”，还可以用反例让学生分析，另外还要让学生明确“求反比例函数”的含义； 通过与正比例函数、一般函数概念等比较，进一步明确反比例函数反映了“一类事物”的变化规律，使学生逐步学会用反比例函数刻画事物的变化规律。,六、如何理解循序渐进、螺旋上升？,螺旋上升既有数学概念发展史的依据，也有学生思维发展规律的依据； 螺旋上升应该体现“必要性”，如函数概念必须螺旋式学习，但平面几何的螺旋不应该是“先实验几何，论证下次再说”；一般地，整个中学数学体系上要螺旋上升而在小系统上还是“直线式”。,“螺旋式”可能产生的问题是重复学习，例如统计与概率的不适当重复问题； 重要的数学思想方法必须得到“螺旋上升地重复”“隐性知识”，“可以意会不可言传”，要经历“渗透概括应用”的学习阶段。,例7 概念的多元联系表示中体现的螺旋上升,比例关系： 算术比和比例、百分数、比例尺； 代数各种“率”，实际问题； 平面几何线段比和比例、相似形等； 解析几何斜率、线性方程； 统计与概率统计图表、频率与概率。 当利用基本的几何概念（如相似）和代数概念（如线性关系）引入比例概念时，学生对比例关系的理解就会更深刻。,七、探究式教学的天时地利人和,天时：建设创新型社会，教育“以培养学生的创新精神和实践能力为重点”； 地利：教学内容是否适合于“探究”有的内容不适宜，如公理、定义名称、规定等；但更多的内容可采用探究式教学；,例8 不适宜于探究的内容举例,概念名称，如“有理数”“无理数”“补角” “余角”等； 定义，什么叫代数式、两条直线平行的定义等； 数学符号，如判别式，全等，相似； 某些复杂的定理，如勾股定理，只要理解意义，会证明，能应用； 为什么用圆周角与圆心的相对位置对圆周角进行分类？,例9 适宜探究的内容举例,实数运算律从具体到抽象，归纳得出； 乘法公式，平方差公式、完全平方公式等； 各种几何性质原则上都是可以探究的； ,例10 等腰三角形的性质,先行组织者：对于三角形，我们研究过它的组成要素和相关要素（内角、边、外角、角平分线、中线、高等）的度量关系；研究过两个三角形的特殊关系全等问题；等。这些研究从性质和判定两个角度入手。像研究直线的特殊位置关系（垂直、平行）一样，三角形也有特殊的（是什么？）需要研究“角”为标准的直角三角形，“边”为标准的等腰三角形（特例是等边）。,问题1 你认为可以研究等腰三角形的哪些问题？性质与判定 问题2 等腰三角形的性质可以从哪些角度入手？角的关系（两底角相等）、高、中线、角平分线的特性；特殊等腰三角形的特殊性；等。 问题3 前面学习过轴对称图形，知道角是以角平分线为对称轴的轴对称图形。根据这些经验，请动手剪一个等腰三角形，并说明你得到的一定是等腰三角形。,问题4：从“剪”的过程看到，等腰三角形的哪些元素是重合的？你可以得到哪些性质的猜想？ 问题5：“剪”的关键步骤是什么？数学含义是什么？ 问题6：上述猜想是从一个等腰三角形得到的，是否对所有等腰三角形都有这些性质呢？如何证明？通过全等三角形，注意从操作中获得证明思路的启发。 问题7：对特殊的等腰三角形等边三角形，有什么相应的特殊结论？,人和：师生共同营造的“探究氛围”，有赖于学生“探究式学习的心向”，也有赖于教师的“探究型教学的意识”。 探究过程需要精心设计围绕核心的定向探究；数学思想方法在自主探究中有关键作用，需要教师的启发引导注意使用“先行组织者”。,“我校生源差，反复讲还记不住，怎能让学生自主探究？”学习是知与行的统一，只“讲”肯定不会；探究是深层次的思维活动，是“心动”与“行动”的融合。生源越差越要精心组织学生的探究活动，如何铺设探究的台阶是对教师的考验。,例11 “找规律”,平面上的n条直线至多可以有多少个交点。 归纳推理过程分析：n=2，1个交点；n=3，第3条直线与前2条直线各有一个交点，增加2个，为1+2；n=4时，第4条直线，增加3个，为1 + 2 + 3；n条直线至多1+2+（n1）。 难点：（1）归纳思想不是自然产生的；（2）保留中间值以便观察规律的技能不容易；（3）1+2+（n1）的意义难理解。 结论：这个题目不适合初中。,八、重结果轻过程的危害是什么？,数学是思维的科学。数学思想方法孕育于知识的发生发展过程中。“思想”是概念的灵魂，是“数学素养”的源泉，是从知识到能力的桥梁；“过程”是“思想”的载体，是领悟概念本质的平台，是思维训练的通道，是培养数学能力的土壤。,没有过程=没有思想； 没有思想就难以理解概念的实质； 缺乏数学思想方法的纽带，概念间的关系无法认识、联系也难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性，其可利用性、可辨别性和稳定性等“功能指标”都会大打折扣。 没有“过程”的教学把“思维的体操”降格为“刺激反应”训练，是教育功利化在数学教学中的集中表现。,例12 平行线的判定 过程中体现的思想性,复习：（1）在“相交线”中，我们是如何展开研究的？ 研究线索：定义（获得研究对象）图形的性质（同一类图形的共同本质特性）特例（垂直） 研究内容：四个角的位置关系、大小关系；特例的“特殊性”邻补角相等时两条直线的位置关系，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（不垂直时有两条），垂线段最短。,（2）“三线八角”的研究过程是什么？其中的关键是什么？ 与相交线的研究思路一样，对“两条直线AB、CD被第三条直线EF所截”构成的八个角的位置关系进行分类。 位置关系分类的关键是确定分类标准（两个不共顶点的角在AB、CD的同一方，EF的同一侧）。,“平行线的判定”的过程构建,问题一：类比相交线的特例，在“三线八角”中，有哪些特例？（两条直线平行平行公理；第三条直线与两条直线都垂直；等） 先行组织者：对于几何图形，我们主要考察位置关系和大小度量。对于某种确定的图形（位置关系），我们一般从判定和性质两个角度进行研究。判定就是具备什么条件就有这种位置关系；性质就是具有这种位置关系的图形有什么共性。下面先学习“判定”。,问题二：显然我们可以用定义来判定，但由于直线可以无限延伸，用定义判断不方便。从“三线八角”模型、画平行线的过程等操作中，你能得到什么启发？同位角相等，两直线平行（公理）。 问题三：两条直线被第三条直线所截，同时得到同位角、内错角和同旁内角，由同位角相等可以判定两条直线平行，能否利用内错角或同旁内角来判定呢？通过内错角、同旁内角与同位角的关系，注意训练推理的条理性，渗透化归思想。,课堂小结,从运动变化观点看直线与直线的位置关系（将相交线、垂线、平行线串起来）； 研究问题的基本思路：平行是 特殊的位置关系，如何判断？特 殊性有哪些（性质）？ 判定方法