虚功及虚功原理结构位移计算的一般公式图乘法及举例温度改.ppt

,第六章 结构位移计算,虚功及虚功原理 结构位移计算的一般公式 图乘法及举例 温度改变产生的位移计算 支座移动产生的位移计算 线弹性体互等定理,6-1 静定结构位移,a）验算结构的刚度； b）为超静定结构的内力分析打基础； c）建筑起拱。,不产生内力， 产生变形产生位移,b）温度改变和材料胀缩；,c）支座沉降和制造误差,不产生内力和变形 产生刚体移动,位移是几何量，自然可用几何法来求，如,但更方便的方法是虚功法，其理论基础是虚功原理。,a）荷载作用；,2、产生位移的原因主要有三种：,计算位移时，常假定：1）=E；2）小变形；3）具有理想约束的体系。即：线弹性体系。荷载与位移成正比，计算位移可用叠加原理。,产生内力， 产生变形产生位移,如屋架在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移,将各下弦杆做得 比实际长度短些，拼 装后下弦向上起拱。,在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。,返航,6-2虚功原理,一、实功与虚功,实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 W11，W22。实功恒为正。 虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。 如W12，如力与位移同向，虚功为正，如 力与位移反向，虚功为负。,F1,F2,荷载由零增大到F1，其作用点的位移也由 零增大到11，对线弹性体系F与成正比。,元功 dW=Fd,W11=dW=SOAB =1/2F111,再加F2，,F2在自身引起的位移22上作的功,W22=1/2F2,22,在12过程中，F1的值不变，,W12=,F112,12与F1无关,Kj,位移发生的位置,产生位移的原因,二、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力有关因素，称为广义力S； 与位有关的因素，称为广义位移。广义力与广义位移的关系是： 它们的乘积是虚功。即：W=S 1）广义力是单个力F，则广义位移是该力作用点的全位移在 力的方向上的分量。,P,m,2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角。,3）若广义力是等值、反向的一对力F,W=FA+FB,=F（ A+B）,=F,这里是与广义力相应的广义位移。,表示AB两点间距的改变，即AB两 点的相对位移。 4）若广义力是一对等值、反向的力偶m,W=mA+mB,=m（ A+ B）,=m,这里是AB两截面的相对转角,表示与广义力相应的广义位移。,三、刚体虚功原理 静力分析的方法,基本方法：选分离体，列平衡方程。 虚功法：虚拟位移状态，建立虚功方程。,1、虚功原理 设在具有理想约束的刚体体系上作用任意的平衡力系，,当 体系发生满足约束条件的无限小的刚体位移，,则主动力在位移上 所作的虚功总和恒为零。,是指约束反力在可能位移 上所作虚功恒等于零的约束,作功的双方（平衡力系、 可能位移）彼此独立无关,2、虚功原理的应用,1）需设位移求未知力（虚位移原理） 2）需设力系求位移（虚力原理）,1）需设位移求未知力（虚位移原理）,求杠杆在图示位置平衡时X的值。,P,X,X,X,F,P=0,X,X =1，P=b/a,刚体内力在可能的位 移上所作虚功恒为零,1）由虚位移原理建立的虚功方程，实质上是平衡 方程。如以上式子就是力矩平衡方程MC0 2）虚位移与实际力系是彼此独立无关的，为了方 便，可以随意虚设，如设X=1。 3）虚功法求未知力的特点是采用几何的方法求解 静力平衡问题。,=0,例 各段杆长为a，求该机构在图示位置平衡时，F与Q的关系。,(1) 虚设位移，建立位移之间的关系,(2) 建立虚功方程，求未知力,虚功法的特点： 1、将平衡问题归结为几何问题求解； 2、直接建立荷载与未知力之间的关系， 而不需求其它未知力。,动画演示T1,求静定结构的约束力,作出机构可能发生的刚体虚 位移图；,应用虚功原理求静定结构的某一约束力X的方法： 1）撤除与X相应的约束，使静定结构变成具有一个自由度 的机构，,使原来的约束力X变成主动力。,2）沿X方向虚设单位虚位移。,利用几何关系求出其它主动力对应的虚位移。,3）建立虚功方程，求未知力。,q,虚功方程为: YC1,+qa0.75,qa20.75/a,1/2q1.53a0,YC=2.25qa,虚功方程为: MA1,(上拉),+qa0.25a,qa20.25,+q(a2a/2 0.5a a/2,MA= 0.75qa2,)0,2）需设力系求位移（虚力原理）,建立虚功方程：F+RAc=0,（）,1）虚荷载与实际位移是彼此独立无关的，为了方便， 可以随意虚设，如设F=1。 2）虚功法求位移的特点是采用平衡的方法求解几何 问题。,刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是， 对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。,W12 0,刚体虚功原理,四、变形体系的虚功原理:状态1是 满足平衡条件的力状态，状态2是 满足变形连续条件的位移状态，状 态1的外力在状态2的位移上作的外 虚功等于状态1的各微段的内力在 状态2各微段的变形上作的内虚功 之和,即：,证明,d2=2ds,微段的变形可分为2ds，,2ds，,2ds,=FN12ds+FS12ds+M12ds,(变形体),内力是成对出线的，等值反向， 变形是连续，所以左段右截面与右段的左截面的内力等值反向，位移相同， 这样，相邻微段间的相互作用力的功相互抵消。 于是，整个梁各微段的内力在位移上的总功等于零：,0,1. 设总功为W12, W12 =dW12,2. 求W12 (方案一) 考虑微段上 受力（状态1）,梁上外力,（a）,3. 求W12 (方案二),将状态2中ab微段的位移过程分为,随a截面的刚体位移，移至ab“,因为微段平衡 所以,由 （a）、（b） 得：,虚功原理的证明,返航,截面内力,变形引起的位移（a截面不动）再移至ab,内力在变形上的虚功,6-3 单位荷载法 （位移计算的一般公式）,虚拟力状态 1,需首先虚拟力状态,在欲求位移处沿所求位移方向加上相应的广义单位力F=1,(610)式是结构位移计算的一般公式, 注:1) 适用于静定结构和超静定结构; 2) 材料可以是弹性的也可是非弹性的; 3) 产生位移的原因可以是各种因素; 4) 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变 形和轴向变形对位移的影响； 5) (610)右边四项乘积,当力与变形的 方向一致时,乘积取正。,荷载作用下的位移计算,FNP FSP MP,真实位 移状态,注：（1）EI、EA、GA是杆件截面刚度； （2） FNP、FSP、MP实际荷载引起的内力， 是产生位移的原因；虚设单位荷载 引起的内力是,（5）桁架 =,（6）桁梁混合结构,（7）拱通常只考虑弯曲变形的影响精度就够了；仅在扁平拱中 计算水平位移 时才考虑轴向 变形对位移的影响，即,+,=,（3） 公式右边各项分别表示轴向、剪切、弯曲变形对位移的影响。 （4）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的,=,=,（8）该公式既用于静定结构也用于超静定结构。但必须是弹性体系,（9）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应 的广义单位荷载。,位移方向未知时无法直接虚拟单位荷载！,例,图示虚拟的广义单位力状态，可求什么位移。,（,）,AB杆的转角,AB连线的转角,AB杆和AC杆的 相对转角,例6-4图示屋架的压杆采用钢筋混凝土杆，拉杆采用钢杆。 求C的竖向位移。,解：1)将q化为 结点荷载F=ql/4,-4.74F,-4.42F,4.5F,3.0F,2)求,6-4 荷载作用下的位移计算举例,1.50,1.50,-1.58,-1.58,0,0,4)求C,0.263l,0.263l,0.088l,0.278l,0.278l,0.222l,Ab,Ab,0.75Ab,Ag,3Ag,2Ag,1.97Fl/AbEb,1.84Fl/AbEb,0,0,0.63Fl/AgEg,0.5Fl/AgEg,C=Fl(3.81/AbEb+,1.13/AgEg)2,3)求,例 求图示曲杆（1/4圆弧）顶点的竖向位移。,解：1）虚拟单位荷载,虚拟荷载,3）位移公式为,ds=Rd,钢筋混凝土结构G0.4E 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12,可见剪切变形和轴向变 形引起的位移与弯曲变形 引起的位移相比可以忽略 不计。但对于深梁剪切变 形引起的位移不可忽略。,2）实际荷载,例 求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载 m=1,Mp（x1）=Fx/2 0x1l/2 Mp（x2）=F（lx）/2 l/2 x2l,0xl,积分常可用图形相乘来代替,2）Mp须分段写,Mi=xtg,注：,表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。 图乘法的应用条件：a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。 竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 面积与竖标y0在杆的同侧， y0 取正号，否则取负号。,y0=x0tg,6-5 图乘法 位移计算举例,几种常见图形的面积和形心的位置,=hl/2,二次抛物线=2hl/3,二次抛物线=hl/3,二次抛物线=2hl/3,三次抛物线=hl/4,n次抛物线=hl/(n+1),顶点,顶点,顶点,顶点,顶点,ql2/2,例 求梁B段转角。,例 求梁B点竖向位移。,例 求图示梁中点的挠度。,3a/4,例 求图示梁C点的挠度。,？,？,温故而知新,图乘法 位移计算举例,表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。 图乘法的应用条件： 竖标y0 面积与竖标y0在杆的同侧， y0 取正号，否则取负号。,几种常见图形的面积和形心的位置：,a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。,取在直线图形中，对应另一图形的形心处。, 非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形,各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线 同侧乘积取正，否则取负。,=111,=15,= 33,b) 非标准抛物线成直线形,例 6-8 预应力钢筋混凝土墙板起吊过程中的计算简图。 已知：板宽1m，厚2.5cm,混凝土容重为25000N/m3,求C点的挠度。 解：q=2500010.025625N/m I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6m4 E=3.3 1010N/m2 折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 104Nm2,举例,折减抗弯刚度 0.85EI=3.6465 104Nm2,F=1,0.8,2,ql2/2,ql2/8,F=1,l,y3,B,FNP=ql/2,FNP=0,例 求B点的水平位移。,例 求AB两点的相对水平位移。,6,3,),EI=常数,例 求B点的竖向位移。,？,ql2/8,l/2,？,上式中的两项积分都是标准图形相乘。,如l1=l/2，EI2=2EI1,，则,+,=,例 试求等截面简支梁C截面的转角。,1,=,1）温度改变对静定结构不产生内力，材料的自由胀、缩。 2）假设：温度沿截面高度为线性分布。,t0,t0=（h1t2+h2t1）/h t=t2-t1,3）微段的变形,k=d/ds =a（t2-t1）ds/hds = at/h =0,该公式仅适用于静定结构,e=at0,6-6 温度改变而产生的位移计算,考虑到正负号,例 6-11 求图示刚架C点的竖向位移。各杆截面为矩形。,1,a,静定结构由于支座移动不会产生内力和变形，所以e=0，k=0 g=0。代入,得到：,仅用于静定结构,6-7 支座移动而产生的位移计算,求顶铰处的的相对转角,应用条件: 1)应力与应变成正比; 2)变形是微小的。 即:线性变形体系。,FN1 M1 FS1,FN2 M2 FS2,1、功的互等定理,功的互等定理：在任一线性变形体系中，状态的外力在状态 的位移上作的功W12等于状态的外力在状态的位移上作的功W21。即： W12= W21,6-8互等定理,2、位移互等定理,位移互等定理： 在任一线性变形体系中，由单位荷载F1=1所引起的与单位荷载F2相应的位移21等于由单位荷载F2=1所引起的与单位荷载F1相应的位移12 。,注意:1）这里荷载可以是广义荷载，位移是相应的广义位移。 2）12与21不仅数值相等，量纲也相同。,3、反力互等定理,反力互等定理： 在任一线性变形体系中，由单位位移c1=1所引起的与位移c2相应的反力r21等于由单位位移c2=1所引起的与位移c1相应的反力r12 。,注意:1）这里支座位移可以是广义位移,反力是相应的广义力。 2）反力互等定理仅用于超静定结构。,r12=r21,4、反力位移互等定理,反力位移互等定理： 在任一线性变形体系中，由单位荷载所引起的结构某一支座的反力，等于该支座发生单位位移时所引起的单位荷载作用处的位移，但符号相反。,注意: 这里反力是广义力，支座位移则是相应的广义位移。,例 已知图结构的弯矩图, 求同一结构由于支座A的转动 引起地C点的挠度。 解：W12=W21 W21=0 W12=FC3Fl/160 C=3l /16,例 图示同一结构的两种状态， 求=？,=A