（黄冈名师）高考数学核心素养提升练四十五利用空间向量证明空间中的位置关系理（含解析）新人教A版.docx

核心素养提升练四十五利用空间向量证明空间中的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.设直线l的方向向量为(1,-1,1),平面的一个法向量为(-1,1,-1),则直线l与平面的位置关系是()A.lB.lC.lD.不确定【解析】选C.因为直线l的方向向量为(1,-1,1),平面的一个法向量为(-1,1,-1),显然它们共线,所以直线l与平面的位置关系是垂直即l.2.已知平面,的法向量分别为=(-2,3,-5),v=(3,-1,4),则()A.B.C.,相交但不垂直D.以上都不正确【解析】选C.因为,所以与v不是共线向量,又因为v= -23+3(-1)+(-5)4=-290,所以与v不垂直,所以平面与平面相交但不垂直.3.如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,点M在EF上且AM平面BDE.则M点的坐标为()A.(1,1,1)B.C.D.【解析】选C.因为点M在EF上,设ME=x,所以M,因为A,D,E(0,0,1),B(0,0),所以=(,0,-1),=(0,-1),=.设平面BDE的法向量n=(a,b,c),由得a=b=c.故可取一个法向量n=.因为n=0,所以x=1,所以M.4.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若,=(x-1,y,-3),且BP平面ABC,则实数x,y,z分别为()A.,-,4B.,-,4C.,-2,4D.4,-15【解析】选B.因为,所以=0,所以3+5-2z=0,解得z=4.又因为BP平面ABC,所以,所以,解得x=,y=-,所以x=,y=-,z=4.5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则的值为()A.a2B.a2C.a2D.a2【解析】选C.如图,设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量两两夹角为60.=(a+b),=c,所以=(a+b)c=(ac+bc)=(a2cos 60+a2cos 60)=a2.二、填空题(每小题5分,共15分)6.设平面与向量a=(-1,2,-4)垂直,平面与向量b=(-2, 4, -8)垂直,则平面与位置关系是_.【解析】因为2a=b,所以ab.因为平面与向量a垂直,所以平面与向量b也垂直.而平面与向量b垂直,所以.答案:平行7.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为,则cos 的最大值为_.【解析】如图,建立空间坐标系,设正方形的边长为2,则A(0,0,0),F(2,1,0),E(1,0,0),设M(0,m,2)(0m2),则=(2,1,0),=(1,-m,-2),cos =,令t=2-m(0t2),cos =.答案:8.如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为_.【解析】不妨设CA=CC1=2CB=2,则A(2,0,0),B1(0,2,1),B(0,0,1),C1(0,2,0),所以=(-2,2,1),=(0,2,-1),所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值是cos =,所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.如图所示,在多面体A1B1D1DCBA中,四边形AA1B1B,ADD1,ABCD均为正方形,E为B1D1的中点,过A1,D,E的平面交CD1于F.(1)证明:EFB1C.(2)求二面角E-A1D-B1的余弦值.【解析】(1)因为A1DB1C,A1D平面A1DE,B1C平面A1DE,所以B1C平面A1DE,又B1C平面B1CD1,平面A1DE平面B1CD1=EF,所以EFB1C.(2)设正方形边长为1,以A为原点,分别以 ,为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0), A1(0,0,1),B1(1,0,1), D1(0,1,1),而E是B1D1的中点,所以点E的坐标为(0.5,0.5,1).设平面A1DE的法向量n1=(r1,s1,t1),又=(0.5,0.5,0), =(0,1,-1),由n1,n1得:,令s1=t1=1,则n1=(-1,1,1),设平面A1B1CD的法向量n2=(r2,s2,t2),又=(1,0,0),=(0,1,-1),同理可得:n2=(0,1,1),所以结合图形可得二面角E-A1D-B1的余弦值为= =.10.(2018黄冈模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.(1)求证:EFCD.(2)在平面PAD内求一点G,使GF平面PCB,并证明你的结论.(3)求DB与平面DEF所成角的正弦值.【解析】以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图),设DA=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,F,P(0,0,a).(1)因为=(0,a,0)=0,所以EFCD.(2)点G为AD的中点时,满足题意,理由如下:设G(x,0,z),则G平面PAD,=,=(a,0,0)=a =0,所以x=,=(0,- a, a)= a z=0,所以z=0,所以G点坐标为,即G点为AD的中点.(3)设平面DEF的法向量为n=(x,y,z).由得,即,取x=1,则y=-2,z=1,得n=(1,-2,1).cos=,因为DB与平面DEF所成角的正弦值sin =|cos|所以,DB与平面DEF所成角的正弦值的大小为.(20分钟40分)1.(5分)如图,点C在圆锥PO的底面圆O上,AB是直径,AB=8,BAC=30,圆锥的母线与底面成的角为60,则点A到平面PBC的距离为()A.B.2C.D.【解析】选C.如图,过点O作AB的垂线Ox,以Ox,OB,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,由题意可得A(0,-4,0),B(0,4,0),C(-2,2,0),P(0,0,4).设平面PBC的法向量为m=(x,y,z),则m=0,m=0,所以2x+2y=0,-4y+4z=0,所以y=z=-x,所以取m=(-1,1),因为=(0,4,4),所以d=,所以点A到平面PBC的距离为.2.(5分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PB底面ABCD,底面ABCD为梯形,ADBC,ADAB,且PB=AB=AD=3,BC=1.在线段PD上存在一点M,使得CMPA,则PM的长为()A.B.3C.D.【解析】选C.因为在梯形ABCD中,ADBC,ADAB,所以BCAB.因为PB平面ABCD,所以PBAB,PBBC,如图,以B为原点,BC,BA,BP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,所以C(1,0,0),D(3,3,0),A(0,3,0),P(0,0,3).设=(3,3,-3),所以=+=(-1+3,3,3-3),所以=-9+3(3-3)=0,解得=,所以存在点M,且PM=PD=.3.(5分)给出下列命题:直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量b=,则l与m垂直;直线l的方向向量a=(0,1,-1),平面的法向量n=(1,-1,-1),则l;平面,的法向量分别为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则;平面经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面的法向量,则u+t=1.其中真命题是_.(把你认为正确的命题的序号都填上)【解析】对于,因为a=(1,-1,2),b=(2,1,-),所以ab=12-11+2=0,所以ab,所以直线l与m垂直,正确;对于,a=(0,1,-1),n=(1,-1,-1),所以an=01+1(-1)+(-1)(-1)=0,所以an,所以l或l,错误;对于,因为n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),所以n1与n2不共线,所以不成立,错误;对于,因为点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),所以=(-1,1,1),=(-1,1,0),向量n=(1,u,t)是平面的法向量,所以,即,则u+t=1,正确.综上,真命题的序号是.答案:4.(12分)如图,在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,E,F分别是PC,PD的中点,PA=AB=1,BC=2.求证:(1)EF平面PAB.(2)平面PAD平面PDC.【证明】(1)以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1),所以E,F,=,=(1,0,-1),=(0,2,-1),=(0,0,1),=(0,2,0),=(1,0,0),=(1,0,0).因为=-,所以,即EFAB,又AB平面PAB,EF平面PAB,所以EF平面PAB.(2)因为=(0,0,1)(1,0,0)=0,=(0,2,0)(1,0,0)=0,所以,即APDC,ADDC.又APAD=A,所以DC平面PAD.因为DC平面PDC,所以平面PAD平面PDC.5.(13分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,PB与底面所成的角为45,底面ABCD为直角梯形,ABC=BAD=90,PA=BC=AD=1.(1)求证:面PAC面PCD.(2)在棱PD上是否存在一点E,使CE面PAB?若存在,请确定E点的位置;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为PA面ABCD,PB与面ABCD所成的角为PBA=45,所以AB=1,由ABC=BAD=90,易得CD=AC=,由勾股定理逆定理得ACCD.又因为PACD,PAAC=A,所以CD面PAC,CD平面PCD,所以平面PAC平面PCD.(2)分别以AB,AD,AP