插值与拟合方法建模.ppt

插值与拟合方法建模,中国海洋大学 数学科学学院 曹圣山 2011年08月15日 ,课程安排及要求,上课时间和地点 2011年夏季学期数学建模实践授课安排_cao.xls 课程要求 以队（每队3人）为单位，每周完成1 2篇论文，无期末考试，最终以全部论文的总成绩作为课程成绩 参加全国大学生数学建模竞赛的资格问题 以课程成绩为主，结合往年有竞赛经验的部分学生，自愿组队为主,概论,日常生活中，尤其是科技活动中，人们越来越频繁的和数据打交道，想方设法的获取数据，千方百计地、认真细致地分析处理数据，已成为研究许多问题的一个重要环节，一种基本技术，甚至已成为一种较为通用的分析问题、解决问题的思想方法. 本课件分三个部分: 处理数据常用的插值方法和拟合方法简介 部分相关的matlab命令简介 与插值法或拟合法相关的建模案例,方法的三个基本问题,数据的来源及数据的特点分析 分析处理数据的方法分析. 数据中所含误差对处理结果的影响.,方法使用情况对比,插值方法适用于：数据量较少，且精度较高. 拟合方法适用于：数据量较多，且含有较大的不确定性，如，数据中，同一点处有多个观测值（可能不同）；再如，社会、经济统计中，随机因素对数据的影响较大，甚至与数据处于同一个数量级，拟合方法特别适用于研究数据自身所隐含的规律、趋势.,实际中数据处理的例子,测量细棒上若干个点处的温度（或房间内若干个点处的温度、某区域若干个点处的海水深度，汽车、飞机等的外形设计，诸如此类的空间分布数据），试确定细棒上各处的温度分布.当数据量较少，且测量误差较小时，可用插值法；当数据量很多，测量误差较大，或数据中含较大的不确定性时，可用拟合法. 研究时间序列数据的变化趋势，常用拟合法.,第一章 插值方法,此类实际问题的基本特征（以两个变量情况为例） 已知一组数据点 ，它对应一个确定 的函数关系 . 希望求出这个函数，或者求出 它的一个近似函数 ，满足 ， . 例子 测量细棒上若干个点处的温度，确定出温度的空间分布（两个变量间的一元函数）. 数控铣床加工精密工件问题（三个变量间的多元函数）.,第一节 一元函数的多项式插值,插值问题提法：已知函数 在 个互异的观测点 ，上的函数值 .求函数 ，满足 ， . 则 称为插值函数， 称为被插值函数， 称为插值节点. 这种提法存在问题 解不唯一，需要附加条件！ 作为未知的被插值函数的一个近似，用于后续的分析计算过程中，应具备形式简单、满足必要的分析性质、便于进行各种分析运算. 在插值节点处，插值函数与被插值函数取值完全一致！插值法适用于那种观测数据精度较高的问题.,适定的代数插值问题,已知函数 在 个互异的观测点 处的函数值 .求函数 ，满足 次数不超过 次的多项式 ， . 称为 次Lagrange插值多项式. 该问题满足 解存在唯一（通过指定插值函数应属的函数类实现） 插值多项式便于构造 代数多项式形式简单、性质良好,n次Lagrange插值多项式的构造,记函数 满足 当 时 函数 称为 次Lagrange插值关于节 点 的节点插值基函数. 易得 即,龙格(Runge)现象,当插值节点个数很大时，一方面，插值多项式次数越来越高；另一方面，插值多项式与被插值函数取值一样的点的个数越来越多. 将区间-5，5分成10等分，11个分点（含端点）作为插值节点（ ），构造函数 的10次插值多项式,第二节 分段多项式插值,Runge现象揭示 当 时， 应尽量避免用高次多项式作为插值函数 低次多项式也有优点 兼顾各方，分段低次多项式插值，效果更好 仅简单介绍分段线性插值,分段线性插值问题,已知函数 在 个观测点 上的函数值 ， .求函数 ，满足 在每个小区间 上， 是线性函数（次数不超过1次的多项式）； ， . 称为分段线性插值函数. 分段线性插值的构造 当 时，,两种插值的数值算例,第三节 密切插值(osculating interpolation),实际问题中，有时不仅可以得到未知函数在观测点处的函数值，而且还可以测量出它在这些点处的一阶导数值，甚至高阶导数值，此时，可以构造密切插值函数. Hermite插值问题提法 已知函数 在 个观测点 ， 处的函数值 和导数值 ， .求函数 ，满足 是次数不超过 次的多项式. ， ， . 称为函数 的 次Hermite插值多项式.,第四节 样条插值(spline interpolation),当插值节点个数较多时，Lagrange插值的不收敛性，分段低次多项式插值的不够光滑，Hermite插值需要已知导数值. 提出一种收敛的、具有一定光滑性的分段低次多项式插值样条插值.,样条插值问题提法,已知函数 在 个的观测点 处的函 数值 ， .求函数 ，满足 在每个小区间 上， 是次数不超过3次的多项式； ， . . 称为三次样条插值函数. 注1：要保证问题的解存在唯一，需要适当的补充 条件样条插值的边界条件 注2：求样条插值函数，需要解线性代数方程组.,第二章 matlab插值命令简介,关于多项式 多项式表示 多项式可用行矢量表示，其元素按幂指数降 序排列，如， 可表示为一 个向量 多项式求值命令polyval(P,X) 计算多项式P在X点处的值，若X是数组，则 所得结果为对应点处的函数值构成的数组.,第一节 一元函数部分插值命令,一元插值函数interp1() 调用格式为yi=interp1(x, y, xi, method) 其中 x，y为给定的插值数据，可以是数组； xi为被插值点，yi为被插值点xi处的插值函数值，它们可以是数组，且必须维数一致； method指定所要选用的插值方法,可选用的四种method,nearest (最邻近插值)：被插值点处函数值取值为最接近的插值节点处的值 linear ：分段线性插值. 这是interp1函数的缺省设置 cubic ：分段三次插值函数 spline ：样条插值函数,样条插值算例,nearest 的算例,函数interp1评注,以上这四种方法都要求x中的数据为单调，且xi在插值节点的内部（此时为内插），但并不要求x是等距节点，对等距节点，可在method之前加上*，能提高运行速度. 从运行速度、占用内存大小及插值函数的光滑度三个方面分别比较四种方法（按nearest、linear、cubic、spline顺序），结果为 运行速度由快到慢 内存要求从小到大 光滑度由差到好 对于method没有涉及到的插值方法，相应的插值函数要自行编程实现,第二节 二元函数的插值及部分matlab命令,二元函数的插值情况较为复杂，常按如下两个方面予 以区分 自变量所属的二维区域是规则区域还是不规则区域 前者较为标准方法较多，后者可化归为前者 给定的数据是有规律分布的还是散乱的、随机分布的 前者问题较为标准，解决方法较为成熟，可选方法较 多. 对于后者，通常是转化为前者，但要具体问题具 体分析，基本思路是：从给定的数据出发，依据一定 的方法补充修复出相应于规则插值节点上的数据，转 化为数据分布有规律的情形来处理,二维规则区域，插值节点分布规律,插值数据形如：,可用方法及matlab函数,二元插值函数interp2( ) 调用格式为zi = interp2(x, y, z, xi, yi, method) 其中 x，y，z 为插值数据，均为向量 zi为被插值点 (xi, yi) 处的插值函数值 method为可选用的插值方法,可选用的四种method,nearest：表示最临近插值 linear：表示分片双线性插值 cubic：表示分片双三次插值 spline：表示双三次样条插值 注： interp2插值方法要求 x 和 y分别是单调的插值节点，x 和 y 可以是不等距的.,算例气旋变化情况,下表是测量的气象资料，分别表示在南半球 地区按不同纬度、不同月份的平均气旋数字. 根据这些数据，绘制出气旋分布曲面图形. (本资料下载于网络),算例程序,X=1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12; Y=0 10 20 30 40 50 60 70 80; Z=; x0,y0 = meshgrid(1:0.11:12,0:0.8:80); zz0=interp2(X,Y,Z,x0,y0,spline); mesh(x0,y0,zz0);,第三章 数据拟合方法,当观测数据量较大，且常常在同一点处有多个观测值（可能不同），或者数据中含有较大不确定性、有较大的误差时，要求近似函数过给定的数据点的插值方法难以得到满意的结果. 不刻意追求微观上对每对数据的准确满足（即像插值法那样，让近似函数过给定的点），而是先提出某种整体上近似准则，在此准则下，追求一个最优的近似函数！,第一节 最小二乘数据拟合,最小二乘数据拟合问题提法 已知函数 的一组观测数据 若函数 满足 则称此函数 为 的拟合函数. 其中， ， ，称为拟合函数 在 点处 的偏差或残量,插值与拟合对比示意图,插值 拟合,关于数据拟合,一般地，是在指定的函数类中求拟合函数 数据拟合的步骤 画散点图，由此分析确定出合适的拟合函数类，通常所选函数类构成线性空间 拟合函数类中函数的表示，选定基函数，待求拟合函数转化为求拟合函数在这组基函数上的展开系数 求解最小二乘问题 (*)，求得拟合函数（即求其在基函数的展开系数）,线性最小二乘数据拟合,若线性函数 满足 则称此函数 为 的线性拟合函数. 注： 求解线性最小二乘拟合，最终归结为求解一 个线性代数方程组，此方程组通常称为最小 二乘问题的正规方程组,非线性最小二乘数据拟合,若非线性函数 满足 则称此函数 为 的非线性拟合函数. 注： 求解非线性最小二乘拟合，通常应首先将其 线性化最终归结为求解一个线性代数方程 组，此方程组通常称为最小二乘问题的正规 方程组,第二节 线性最小二乘数据拟合的解,设由一组线性无关函数系 的线 性组合组成一函数类 ，显然它构成一个线性 空间. 此时，线性最小二乘拟合问题可表示为： 求 ，使得 将所求拟合函数表示成该线性空间一组基函数 的线性展开,线性最小二乘问题的正规方程组,此时，求解线性最小二乘拟合问题转化为求 系数 ，注意到（*）式是这组 系数的二次函数，所以有 整理可得,第三节 matlab单变量数据拟合命令简介,拟合函数的命令为：polyfit( ) 其调用格式为a = polyfit(xdata, ydata, m) 其中 m 为多项式拟合函数类的最高次数 xdata，ydata为要拟合的数据，都是数组 a输出结果，即拟合多项式在选定基函数的展开系数,一般的曲线拟合,拟合函数为curvefit( )，或lsqcurvefit( ) 调用格式分别为 p = curvefit(Fun, p0, xdata, ydata) p = lsqcurvefit(Fun, p0, xdata, ydata) 其中 Fun为函数Fun (p, xdta) 的M文件 P0 为函数的初值 要计算点 x 处的函数值 y，可用函数 f = Fun(p,x),数据拟合算例,在某化学反应中，已知生成物的浓度与时间有关. 现 有如下一组测量数据. 试求 浓度y与时间 t 之间的近似函数关系,分析散点图可知，拟合函数类应选单调上升的 曲线，尝试如下三种 多项式 ， 为适当 选取的正整数 有理函数 指数函数,多项式拟合结果,分别用二、三、六次多项式拟合，计算得输出参数分别为 p2 = 0.0445，1.0711，4.3252 p3 = 0.0060，0.1963，2.1346，2.5952 p6 = 0.0000，0.0004，0.0103，0.1449， 1.1395，4.9604，0.0498 即拟合函数分别为 2(x) = 0.0445 1.0711x 4.3252x2 3(x) = 0.0060 0.1963x 2.1346x2 2.5952x3 6(x) = 0.0004x 0.0103x2 0.1449x3 1.1395x4 4.9304x5 0.0498x6,多项式拟合结果,有理函数拟合结果,拟合函数类取为 拟合得参数为p = 0.0841，0.1392 即得拟合函数为,有理函数拟合结果,指数函数拟合结果,拟合函数类取为 拟合得参数为p = 11.3578，1.0873 即得拟合函数为,指数函数拟合结果,插值与拟合建模案例对海底地形测量图的插值（MCM86A）,在某海域测得一些点(x,y)处的水深z（单位为英尺）， 由下表给出，若船的吃水深度为5英尺，在矩形区域 （75，200） （-50，150）里的哪些地方船要应禁入 参考自/view /b91d3a563c1ec5da50e27012.html,第一步 画散点图,Matlab命令 x0=129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5; y0=7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5; plot(x0,y0,+);,散点图,三次插值, x0=129 140 103.5 88 185.5 195 105.5 157.5 107.5 77 81 162 162 117.5; y0=7.5 141.5 23 147 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3 56.5 -66.5 84 -33.5; z