自动控制原理典型例题.ppt

1,例4-1系统的开环传递函数为： 当A和kg取不同值时，绘出的根轨迹是什么类型的根轨迹。,解分以下几种情况说明： Kg为常数，A为变数时，为参量根轨迹； A为常数，kg为变数时，为常规根轨迹（包括180度和0度根轨迹）； 当kg0时，若A0，则为180度根轨迹；若A0，则为0度根轨迹；若A0，为180度根轨迹。,2,例4-2已知单位反馈系统的开环传递函数为 （1）画出系统的根轨迹；（2）计算当增益k为何值时，系统的阻尼比 是 ，并求此时系统的闭环特征根；（3）分析k对系统性能的影响。,3,当 时，阻尼角 ，表示 角的直线为OB,其方程为 ，代入闭环特征方程整理后得： 令实部和虚部分别为零，有 解得 由图可知当 时直线OB与圆相切，系统的阻尼比 ，特征根为 。,4,对于分离点 ，由幅值条件可知 对于会合点 ，有 由根轨迹图可知，当 时，闭环系统有一对不等的负实数极点，其瞬态响应呈过阻尼状态。当 时，闭环系统有一对共轭复数极点，其瞬态响应呈欠阻尼状态。当 时，闭环系统又有一对不等的负实数极点，瞬态响应又呈过阻尼状态。,5,例4-3控制系统的结构图如下图所示。试绘制以a为参变量时的根轨迹。,解 系统的闭环传递函数为：,用不含参数a的项去除闭环特征方程的两边，有：,闭环系统的特征方程为：,画出以a为参变量的根轨迹：,6,例4-3系统的结构图如图所示。试绘制 的根轨迹。并说明闭环系统呈现欠阻尼状态是的开环增益范围。,解这里要画以k*参量根轨迹。系统的闭环传递函数为：,闭环特征方程为：,等效为：,等效开环零点为：0，-3,等效开环极点为：,7,例4-3（续1）,8,例4-3（续2）,其分离回合点计算如下：,根据：,整理得：,由根轨迹图可以看出，分离回合点在-3，0区间，所以分离回合点为-1.243。对应的根轨迹增益k*为：,当k*在0，0.95范围内，闭环系统呈现欠阻尼状态。,9,例4-4控制系统的开环传递函数： 。试绘制当kg从0到正无穷大时的根轨迹。,解,10,例4-5系统结构图如下。1、画出根轨迹。2、求当k=5时闭环极点的位置。,解 1、系统的开环传递函数为：,开环极点为,求渐进线：,11,求极点 的出射角：,求根轨迹与虚轴的交点。系统的闭环特征方程为：,列劳思阵列如下：,例4-5（续1）,12,例4-5（续 2）,当k=12时，辅助方程为： ，解得：,13,2、当k=5时，闭环特征方程为：,例4-5（续 3）,解方程可知，系统的4个闭环极点为：,该例中，开环传递函数有零极点相消。在画根轨迹时，可以画相消后的系统根轨迹。但是，要把消去的开环零、极点补上。检验一下消去的开环极点是否闭环系统的极点。若是的话，在考虑主导极点的时候，要把该极点考虑进去。本例中，显然消掉的开环极点也是闭环极点。,14,例5-1系统结构图如右：试判断闭环系统的稳定性并讨论稳定性和k的关系。,解：开环系统奈氏图是一个半径为 ，圆心在 的圆。显然，k=1时，包围(-1,j0)点，k1时不包围(-1,j0)点。,由图中看出：当k1时，奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)点一圈，N=-1，而 ，则 闭环系统是稳定的。,15,以上是根据画图得出的结论，事实上，我们可以通过计算来确定乃氏曲线与实、虚轴的交点。,当虚部为零时，可求得： ，则乃氏曲线与实轴的交点为： 。同样可以发现，乃氏曲线与虚轴没有交点。以某一个k值画出乃氏曲线，发现乃氏曲线逆时针旋转，所以，当k1时，曲线逆时针包围-1点，当k1时系统稳定，否则不稳定。,例5-1（续）,16,例5-2系统的开环传递函数为： ，试问当k=20时，闭环系统是否稳定？,解思路：闭环系统稳定时，开环相位稳定裕度 大于零。即当频率等于幅值穿越频率 时， 。所以先求幅值穿越频率，再求相位稳定裕度 。,解得：,则相位稳定裕度为：,所以闭环系统是稳定的，并且有一定相角裕度。,考虑一下：当k=20时，为了保证闭环系统稳定，延迟环节的延迟时间最大可取多少？ 当延迟时间一定时，为了保证闭环系统稳定，k的临界值是多少？,17,例5-3已知最小相位系统的开环对数幅频特性曲线如图所示。试判断系统的稳定性。,解求出穿越频率处的相角，计算相角稳定裕度，若相角稳定裕度大于零，则系统稳定。,由图知：低频段渐进线斜率为-40，表明系统有两个s=0开环极点。在w=2处，斜率变化为-20，表明遇到一个一阶微分环节。在w=10处，斜率变化为-40，表明遇到一个一阶惯性环节。据此有：,18,例5-3（续）,设系统的开环放大系数为K，有：20=logK-vlogw，当w=1时，解得：K=10。故系统的开环传递函数为：,解得：,系统的相角稳定裕量为： ，系统稳定。,穿越频率处的相角为：,19,例5-4系统结构如图a所示。其中G2(s)为最小相位环节，该环节的频率特性如图b所示，用乃氏判据判断系统的稳定性。( ),k,G2(s),图a,解由图b知，G2(s)应为零型环节，且有：,可知：,20,系统的开环传递函数：,k,G2(s),-1,例5-4（续1）,假设k=0,21,例5-4（续2）,完整的乃氏图见下页。,22,例5-4（续3）,23,画出完整的映射图，可知：顺时针绕-1点转动一圈。而系统无开环右半极点，所以在k0的情况下，闭环系统不稳定。,例5-4（续4）,同样，当k0时，画出系统乃氏图如下页所示。并画出完整的映射图，可知：顺时针绕-1点转动2圈。而系统无开环右半极点，所以在k0的情况下，闭环系统也不稳定。,24,例5-4