分形理论在我国外汇市场中的应用【推荐论文】 .doc

精品论文分形理论在我国外汇市场中的应用成佩，严定琪（兰州大学数学与统计学院，兰州 730000）5摘要：为了分析和预测我国外汇市场未来行情的变化趋势，本文采用修正的 r/s 分析方法对2008 年 1 月 2 日至 2012 年 12 月 31 日的人民币对美元、欧元和日元汇率的每日中间报价进 行研究，发现我国外汇市场是有偏的随机游动过程，具有典型的分形特征，这一结论为以后市场的定量分析提供了新的思路。同时通过对比三种汇率的平均循环周期，发现 2007 年美10国金融危机的爆发增强了我国外汇市场中人民币对美元汇率的长期记忆性。关键词：外汇市场；分形理论；修正的 r/s 分析；hurst 指数；长期记忆性中图分类号：f830.92the application of fractal theory in chinas foreign15exchange marketcheng pei, yan dingqi(school of mathematics and statistics,lanzhou university,lanzhou 730000)abstract: in order to analyze and evaluate the tendency of chinas foreign exchange market, the modified r/s analysis is applied to study rmb/usd,rmb/eur and rmb/jpy exchange rate20which is from january 2,2008 to december 31,2012.the conclusion indicates that chinas foreign exchange market is a random walk with deviation and has a clear fractal structure,which providesa new thought for market quantitative analysis.by comparing the three exchange rate average cycle,we can know that americas finance crisis enhancedthe long-term memory of rmb/usd exchange rate.25key words: foreign exchange market;fractal theory; modified r/s analysis; hurst index;long-term memory0引言有效市场理论一度是研究资本市场的基石,但作为这一理论基础的正态分布假设存在着30很大缺陷。大量的实证研究表明，金融时间序列的价格收益表现出时变波动性、尖峰厚尾和 有偏等特征。于是近年来，用分形市场假说取代有效市场理论的思想逐渐成形。在我国，对分形市场的研究主要集中在股票市场，汇率方面的研究比较少。戴国强等1 研究了 1984 年至 1998 年 15 种货币对美元日汇率数据，结果表明汇率波动具有状态持久、 关联性、周期性和非线性等特征。孙继国等2研究了 1994 年至 2003 年人民币和日元对美元35的日汇率，结果表明中日外汇市场均存在状态持久性、关联性和非线性，由于数据不足，未 估计出周期性。黄飞雪等3研究了 2005 年至 2007 年人民币对美元、欧元和日元的日汇率，结果表明我国外汇市场存在明显的分形特征。刘志伟等4选择了 2005 年至 2010 年人民币对 美元的日汇率数据进行研究，结果表明人民币对美元市场具有分形特征，并且通过比较金融 危机前后两个区间，得出金融危机对我国外汇市场产生了重大影响。40为了研究的充分性和时效性，本文选择了我国外汇市场中具有代表性的 3 种外币，以2008 年 1 月 2 日至 2012 年 12 月 31 日人民币对美元、欧元和日元的日汇率数据为研究对象， 采用修正的 r/s 分析方法，判断我国外汇市场的分形特征。考虑到 2007 年美国金融危机的作者简介：成佩（1987-），女，兰州大学在读研究生，主要研究方向：金融工程通信联系人：严定琪（1963-），男，副教授，主要研究方向：金融工程. e-mail: - 7 -爆发，通过比较三个汇率序列的平均循环周期，分析了金融危机对我国外汇市场影响的持续程度。451分形理论分形理论是现代非线性科学研究中十分活跃的一个数学分支，它的研究对象是非线性系 统中的不光滑和不规则的几何体。peters5最早提出了分形市场这一概念。所谓分形，是指 部分和整体的相似，具有一定的自相似性和自放射性特征。不同于有效市场假说，分形市场 假说认为历史信息会对价格产生影响，价格变动不是独立的，收益率也不呈正态分布，它强50调流通性和投资时间尺度对投资市场行为的影响。当投资起点趋于一致时会导致价格变动不 连续，从而使频数分布出现厚尾。分形市场理论揭示了资本市场的长记忆性、自相似性等等， 为资本市场的研究开创了新视觉。2r/s 分析2.1 经典 r/s 分析55为了研究和分析时间序列的分形特征，hurst6提出了重标极差分析法，即 r/s 分析方法， 该方法不必假设所测定时间序列的分布特征，即无论是否满足正态分布，其分析结果都不会 受到影响。hurst 建立的关系如下：n( r / s )= (c * n)h（1）60其中 r / s 是重标极差， n 是观察次数， c 是常数， h 是 hurst 指数。 将（1）变形有nlog ( r / s )= h *log n + a（2）r/s 分析的具体计算步骤如下： 设时间序列ni ， i = 1, 2,l n 。651） 将时间序列ni 均分为长度 n 的相邻的 a 个子区间，因而有 a* n = n 。标记每个 子区间为 i a ， a = 1, 2,l a。将子区间 i a 中的每个元素记为 n k ,a ， k = 1, 2,ln 。2） 计算每个子区间 i a 的平均值：1 nnea = n k ,ak =13） 计算每个子区间 i a 中元素相对于均值的累积离差：k70x k ,a = ( ni ,a - ea ) ，k = 1, 2,lni =14） 计算每个子区间 i a 的极差：ra = max ( x k ,a ) - min ( x k ,a )（3）（4）（5）1k n 1k n 5） 计算每个子区间 i a 的样本标准差：sa =n1 ( n2k ,a - ea )（6）n k =1756） 计算每个子区间 i a 的重标极差：a( r / s )= ras（7）a7） 计算该序列相对于划分 n 的重标极差a( r / s )= 1 ra（8）ansa =1 a8） 增加 n 的值，重复上面 2）8）的过程，直到 n = n 。这样对每个 n ，都能得到一2n80个 (r / s )与之对应。n9） 以 log n 为横坐标，log ( r / s )而得到 h 的估计。2.2 修正的 r/s 分析为纵坐标作图，利用最小二乘法得到回归直线，从当时间序列存在短期依赖关系时，r/s 分析结果可能存在一定偏差，针对 r/s 分析的这85一缺陷，mandelbrot7进行了改进，peters8又对该方法作了进一步修正，将 r/s 分析应用于 序列一阶自回归过程的残差序列。2.3 hurst 指数 h 的解释对于一个序列，如果是随机游走的， h 应该等于 0.5，也就是说，对于该序列的重标极 差与时间 n 的平方根成线性关系。当 h 不等于 0.5 时，该序列不再是独立的。90hurst 指数 h 还可以衡量时间序列的相关性，关联函数表示为：c = 22 h -1 - 1（9）当 h = 0.5 时， c =0，即时间序列之间的相关系数为 0，说明该序列是独立的；当0 h 0.5 时， -0.5 c 0，则该时间序列之间呈负相关，说明该序列存在反持续，过 去的变化趋势意味着未来将朝着相反的趋势变化，这种序列比随机时间序列有更强的突变95性；当 0.5 h 1 时， 0 c 0.5 ，则该时间序列之间呈正相关，说明该序列是趋势增强 的持久性序列，过去的变化趋势与将来的变化趋势相同，具有长期记忆性，即过去的价格对 未来的影响要在一段很长时间之后才完全消失。这种长期记忆的长度称为平均循环周期，通 过下面的统计量衡量：( r / s )v = n n n（10）100105对于一个随机游走的序列，vn 近似一个常数；对于一个反持续序列，v 散点图出现下 降趋势；对于一个持续性序列，v 散点图呈现上升趋势。所以，v 散点图由上升趋势转为下降趋势或常数的分界点，就是该序列长期记忆的消失点，即找到v 散点图中最高点对应的 n 值，就是该序列的平均循环周期。3实证分析3.1 数据的选取及处理本文的实证分析中，选取的数据是 2008 年 1 月 2 日至 2012 年 12 月 31 日人民币对美元、 欧元、日元的中间价日汇率，数据来自国家外汇管理网。对于 r/s 分析，对数收益率要比价格的百分比变化更为适用，因此，本文先将数据处理 成对数收益率：110rt = log pt - log pt -1其中， rt 表示 t 时刻的对数收益率， pt 表示 t 时刻的价格。（11）其次为了消除原始数据相关性的影响，利用 rt 序列的 ar(1)残差序列来降低线性依赖 程度：xt =rt - (a+b * rt -1 )（12）1153.2 正态性检验利用 eviews 对三种汇率的对数收益率序列进行分析，结果见表（1）。由表可知人民币 对这三种外币的汇率日收益率序列均是左偏的，且峰度都大于 3，有显著的尖峰特征。jb 统计量的取值也明显大于临界值，因此拒绝了正态分布的假设。表 1 三种汇率对数收益率序列的统计特征人民币对三种外币均值标准差偏度峰度jb 统计量对美元-0.0001230.000862-0.5211765.712861428.2884对欧元-0.0002040.007504-0.4707579.8414312418.363对日元9.21e-050.007127-0.2217037.147351882.17941203.3 收益率序列的修正 r/s 分析由于人民币对三种外币的汇率收益率序列均不服从正态分布，同时考虑到短期相关性会 造成 hurst 指数出现偏差，因此下文采用修正的 r/s 分析方法进行数据分析。1）利用 eviews 得到三种汇率对数收益率序列的 ar（1）模型，从而得到各自的残差序列。125对美元：rt = -8.63e-05+0.030643rt -1对欧元：rt = -0.000197+0.002618rt -1对日元：rt = -0.000182-0.122619rt -1（13）（14）（15）1301352）利用 virtualc+计算三种汇率对应的 r/s 估计值序列，并将其分别取对数，得到各 自的双对数图，见图（1），（2），（3）。利用最小二乘法估计线性回归直线，从而得到 各自的 hurst 指数值和关联系数，结果见表（2）。根据前面的分析可知，人民币对三种外 币日收益率序列均不是相互独立的，因此不满足有效市场假说。因为人民币对美元和对欧元 的汇率日收益率的 hurst 指数都大于 0.5，说明这两种汇率收益率序列是持久的，具有长期 记忆性；人民币对日元的汇率日收益率的 hurst 指数小于 0.5，说明该序列是反持续的，过 去有上升变化意味着将来有下降趋势，过去有下降变化意味着将来有上升趋势。表 2 人民币对三种外币汇率的 h 值和关联系数人民币对三种外币hurst 指数 h 的估计值关联系数对美元0.5203050.02855对欧元0.5336980.04782对日元0.480974-0.026033.532.5log(r/s)21.510.50-0.501234567 log(n)图 1 人民币对美元汇率的 r/s 分析图43.532.52log(r/s)1.510.50-0.5 01234567log(n)140图 2 人民币对欧元汇率的 r/s 分析图3.532.5log(r/s)21.510.50-0.501234567 log(n)图 3 人民币对日元汇率的 r/s 分析图3）为了得到系统的平均循环周期，我们考察v 统计量，结果见图（4），（5），（6）。145从图（4）中可以找出最高点，其对应的 n =412，且这一点之后的 v 统计量显著减小。这说明人民对美元汇率序列的平均循环周期是 412 天，系统经过 412 天就失去了对初始条件的记 忆。从图（5）中可以看出最高点对应的 n =244，这表明人民币兑欧元汇率序列的平均循环 周期是 244 天。从图（6）中可以看出最高点对应的=205，这表明人民币对日元汇率序列的 平均循环周期是 205 天。1.5v10.5150001234567 log(n)图 4 人民币对美元汇率的 v 统计1.5v10.5001234567 log(n)图 5 人民币对欧元汇率的 v 统计1.5v10.5001234567 log(n)155图 6 人民币对日元汇率的 v 统计1604结论本文通过运用修正的 r/s 分析方法对人民币对我国外汇市场最具代表性的三种外币汇 率进行研究，得到以下结论：（1）人民币对美元、欧元和日元汇率的日收益率序列对应的 hurst 指数都不等于 0.5， 因此这三个序列都不服从随机游走模型，而是表现出有偏的随机特性，即一个趋势加上一个 噪声，历史对现在和未来都有影响。由此可以说明我国外汇市场确实存在分形结构，具有长165170175期记忆性。这一结论是比较符合实际市场现象的：即投资者对信息的反应有一个延迟，信息的到来并没有直接反应到价格，投资者根据历史信息有一个共同的趋势，然后以累积的方式 对之前忽略的信息作出反应，这意味着现在的价格受到了过去的影响。（2）hurst 指数可以度量时间序列参差不齐的程度，由于同其他两种汇率相比，人民币 对欧元汇率的 hurst 指数最大，所以该时间序列的持久性更强，噪声更小。相比人民币对美 元汇率序列，人民币对欧元汇率序列连续涨跌的趋势更强，而人民币对日元汇率序列则易出 现突变，因此持有日元外汇的投资者在面对汇率上升时，不能太乐观，应该谨慎投资。（3）同其他学者的研究结果不同的是，本文三种汇率的 v 统计量在期初都比较大，并 且先有一个下降趋势，这说明金融危机对我国外汇市场产生了很大的影响，并且使得我国外 汇市场不稳定，处于忽高忽低的振荡中。（4）通过比较三种汇率序列的平均循环周期，发现人民币对美元汇率的周期最长