人教版九年级数学第21章一元二次方程21.2一元二次方程的根的判别式及应用导学案（无答案）

一元二次方程的根的判别式及应用一、一元二次方程根的判别式1、b24ac叫一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式。2、前提：一元二次方程的一般形式，即：ax2+bx+c=0(a0)3、判别式与一元二次方程跟的关系：=b24ac 0 方程有两个不相等实数根；=b24ac =0 方程有两个相等实数根；=b24ac 0 方程没有实数根；=b24ac 0 方程有两个实数根。4、应用：（1）不解方程，判断方程根的情况；（2）已知方程根的情况确定方程中字母系数的取值范围；（3）应用判别式证明方程的根的状况（常用到配方法）；（4）其他应用：、证明等式，、证明一个式子是否是完全平方式；、二次函数与x轴的交点个数；二、具体应用及练习（一）、 不解一元二次方程，判断根的情况。例1、不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x2+3x-4=0 (2)ax2+bx=0(a0)解：（1）= b24ac=32-42（-4）=9+32=410 方程有两个不相等实根（2）= b24ac= b24a0=b20 方程有两个实数根。巩固练习：1、一元二次方程x2+2x+4=0的根的情况是（）A.有一个实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.没有实数根2、下列一元二次方程没有实数根的是( ) A.x22x1=0 B.x2x2=0 C.x21=0 D.x22x1=03、一元二次方程 x23x+5=0的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根D.没有实数根4、不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：(1)(a+1)x22a2x+a3=0(a0) (2)(k2+1)x22kx+(k2+4)=0（二）、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。例2k的何值时？关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；分析：这是判别式的逆用，由题意知（1）0；（2）=0；（3）0；解：=(-4)2-4(k-5)=16-4k+20=36-4k（1）方程有两个不相等的实数根，0，即36-4k0.解得k9（2）方程有两个不相等的实数根，=0，即36-4k=0.解得k=9（3）方程有两个不相等的实数根，0，即36-4k9巩固练习：1、关于x的一元二次方程kx22x1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）A.k1 B.k1 C.k0 D.k1且k02、关于x的方程（a5）x24x1=0有实数根，则a满足（）A.a1 B.a1且a5 C.a1且a5 D.a53、若关于x的一元二次方程x22xk=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A.k1 D.k14、已知关于x的一元二次方程mx2+2x1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A.m1 B.m1 C.m1且m0 D.m1且m05、一元二次方程（1k）x22x1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k2 B.k2 C.k2且k1 D.k2且k16、如果关于x的一元二次方程(m1)x2+2x+1=0有两个不相等的实数根,那么m的取值范围是（ ） A.m2 B.m2 C.m2且m1 D.m2且m17、若关于x的一元二次方程（k1）x2+2x2=0有不相等实数根，则k的取值范围是（ ）. A.k0.5 B.k0.5 C.k0.5且k1 D. k0.5且k18（2019广西桂林）若关于x的一元二次方程方程（k1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）Ak5 Bk5，且k1 Ck5，且k1 Dk59.（2019安顺）已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0，必有实数解”是假命题，则在下列选项中，b的值可以是（）Ab=3Bb=2Cb=1Db=210.（2019昆明）一元二次方程x24x+4=0的根的情况是（）A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根C无实数根 D无法确定11（2019四川泸州）若关于x的一元二次方程x2+2（k1）x+k21=0有实数根，则k的取值范围是（）Ak1 Bk1 Ck1 Dk112（2019湘潭）若一元二次方程x22x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（）Am1Bm1Cm1Dm113、关于x的一元二次方程mx2+(2m1)x2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。14、方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。15.（2019河南）若关于x的一元二次方程x2+3xk=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 16、如果关于x的方程（m为常数）有两个相等实数根，那么m=_.17、关于x的一元二次方程x2x+m=O没有实数根，则m的取值范围是.18、关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值为 .19、如果关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 .20、如果方程kx2+2x+1=0有实数根，则实数k的取值范围是 .21、关于x的一元二次方程（k1）x22x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 .22、已知关于x的一元二次方程(12k)x22x1=0有实数根，则k的取值范围为_.23（2019南充）已知关于x的一元二次方程x26x+（2m+1）=0有实数根（1）求m的取值范围；（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x220，求m的取值范围21、关于x的一元二次方程x2(2m1)xm21=0有两个不相等的实数根.(1)求m的取值范围； (2)写出一个满足条件的m的值，并求此时方程的根.（三）、证明字母系数方程有实数根或无实数根。例3求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 分析：先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。 证明：=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)=4m2-4(m4+5m2+4)=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)=-4(m2+2)2不论m取任何实数(m2+2)20, -4(m2+2)20, 即0时，关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。求证ABC为直角三角形。 证明：整理原方程：方程c(x2+m)+b(x2-m)- 2ax =0.整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2ax =0(c+b)x2-2ax +cm-bm=0根据题意：方程有两个相等的实数根，=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=04ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0ma2-c2m+b2m=0=m(a2+b2-c2)=0又 m0,a2+b2-c2=0a2+b2=c2又a,b,c为ABC的三边，ABC为直角三角形。 （五）、 判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式例5、（1）若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是（ ）; （2）若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是（）;分析：可以令二次三项等于0，若二次三项是完全平方式，则方程有两个相等的实数根。即=0解：（1）令16a2+ka+1=0方程有两个相等的实数根，=k2-41625=0 k=+40或者-40（2）令ka2+4a+15=0方程有两个相等的实数根，=16-4k=0 k=4（六）、可以判断抛物线与x轴有几个交点分析：抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 （）当y=0时，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的，而决定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况的，是它的判别式的符号，因此抛物