人教版九年级数学第23章旋转23.3课题学习 图案设计讲义

合作探究探究点1 图案设计知识讲解由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对等方法变换出一些复合图案。注意 注意图形之间的变换不是唯一的,有些图案可由基本图案先平移,再旋转得到，也可以先旋转再平移得到，还有的先用轴对称,再平移或旋转等,日常生活中一般可以利用变换组合设计一些美观大方的图案。典例剖析例1 分析图中图案形成的过程。解析 图中的图案是由ABC和ABC组成，若把ABC看作“基本图形”,通过图形变换就可形成整个图案。答案 方法一:该图案可按以下步骤形成:（1） 将ABC沿射线CA的方向平移,使点C到点C的位置。（2） 将平移后的三角形绕顶点C旋转180可得到ABC.方法二:将ABC绕点C旋转180,再沿射线AC方向移,使点C到点C的位置,则旋转前后的两个三角形就组成了闪电图案。方法提示了解图案的形成过程是图案设计的关键,了解是由哪个图案经过怎样变化而形成的,才能去变换设计图案。类题突破1 以图(1)给出的图形(两个相同的圆,两个相同的三角形,两条平行线)为构件,各设计一个对称图形,举例:图(2)所示,图(3),图(4)的左框中分别是符合要求的两个图形,你还能再构思一个与之类型相同,但图案不同的图形吗?请在右框中画出与之配套的图形。答案 本题的答案不是唯一的,如下图所示,图(5)既是中心对称图形,又是轴对称图形,图(6)只是中心对称图形。点拨 圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,正三角形是一个轴对称图形，线段既是中心对称图形又是轴对称图形,因此设计既是轴对称图形又是中心对称图形时应重点设计两个三角形构成中心对称图形,只是中心对称图形的,也应从三角形入手设计。探究点2 坐标系中的轴对称和中心对称知识讲解某点关于x轴的对称点和这点关于y轴的对称点关于原点中心对称。注意 (1)若A(x,y),则关于x轴的对称点为A1(x,-y),关于y轴的对称点为A2(-x,y),由于A1和A2的坐标都互相反数,所以A1和A2关于原点中心对称.(2)明确坐标变换中,只有符号不同,以便准确写出关于原点、x轴、y轴的对称点的坐标典例剖析例2 已知(如图)线段AB,作AB关于x轴对称的线段A1B1,关于y轴对称的线段A2B2观察分析A1B1和A2B2的关系。解析 A(1,3)关于x轴的对称点为A1(1,-3),关于y轴的对称点为A2(-1,3);B(3,1)关于x轴的对称点为B1(3,-1),关于y轴的对称点为B2(-3,1);根据坐标画出图形答案 A1与A2坐标互为相反数,所以关于原点对称,B1与B2坐标互为相反数,所以关于原点对称,所以A1B1与A2B2关于原点对称。规律总结一个图形关于x轴的对称图形和关于y轴的对称图形关于原点中心对称。类题突破2 如图,平面直角坐标系中,ABC为等边三角形,其中点A,B,C的坐标分别（-3,-1),(-3,-3)(-3+,-2).现以y轴为对称轴作ABC的对称图形,得A1B1C1,再以x轴为对称轴作A1B1C1的对称图形,得A2B2C2(1)直接写出点C1,C2的坐标;(2)能否通过一次旋转将ABC旋转到A2B2C2的位置；你若认为能,请作出肯定的回答,并直接写出所旋转的度数你；若认为不能,请作出否定的回答(不必说明理由);(3)设当ABC的位置发生变化时,A2B2C2,A1B1C1与ABC之间的对称关系始终保持不变当ABC向上平移多少个单位时,A1B1C1与A2B2C2完全重合?并直接写出此时点C的坐标将ABC绕点A顺时针旋转a(0a180),使A1B1C1与A2B2C2完全重合,此时a的值为多少?点C的坐标又是什么？答案 （1）点C1,C2的坐标分别是(3-,-2),（3-，2）。（2）能通过一次旋转将ABC旋转到A2B2C2的位置,所旋转的角度为180。（3）当ABC向上平移2个单位时，A1B1C1与A2B2C2完全重合，。此时C点的左边为（-3+，0），如图（1）.当a=180时，A1B1C1与A2B2C2完全重合，此时点C的坐标为（-3-，0），如图（2） 点拨 由于ABC与A1B1C1关于y轴对称，所以它们的对应顶点的横坐标互为相反数，纵坐标相等；A2B2C2关于X轴对称，它们的对应顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，故ABC与A2B2C2各对应顶点的坐标都互为相反数，由此可解（1），（2），对于（3），应从A1B1C1与A2B2C2重合，得X轴也分别是它们的对称轴，因此，此时ABC的顶点C应在X轴上。重点难点重难点1 图案设计(1) 日常生活中很多美丽图案都是由简单图案经过图形变换得到的。(2) 要注意观察分析美丽图形是由哪些图案经过怎样的变换得到，从而学会设计图案，装点我们的生活。例1 欣赏图中的美丽图案，说明它们分别是由哪个基础图形经过怎样的变换得到的。解析 观察图形特点，从平移、旋转和轴对称几个方面综合分析。答案 （1）中的图案是由一个小正方形经过多次平移得到。（2） 中的图案是由正方形的四分之一经过三词旋转得到的。规律总结生活中的图案五光十色，特点各不相同，它们往往是由设计者设计出一个基础图形后，运用平移、旋转个轴对称进行反复和连续变换得到的。类题突破1 在商标、衣料等图形和众多的日用品上，我们可以看到丰富多彩的装饰图形，仔细观察这些装饰图形，你会发现其中有许多图形是利用平移、旋转、轴对称设计的，请同学们设计如图所以的图形。 答案 请准备一张正方形纸片，按下面的5个步骤先后一次画图。（1） 如图（1），在正方形纸片上画出四条对称轴；（2） 如图（2），在其中一个小正方形中，画出图形形状的基本线条，即以正方形对角线的一半为三角形的一边，运用尺规作图作出三角形； (3)如图(3),以三角形的一边(与正方形的对称轴重合的边)为对称轴,利用轴对称的特征,作出与(2)中三角形成轴对称的三角形,得到“基本图形”(四边形);(4)如图(4),以大正方形与水平线成45的那条对角线为对称轴,画出与图(3)中的四边形成轴对称的图形;(5)如图(5),以大正方形两边中心的连线为对称轴,画出其余的两个四边形 在画好的图（5）上涂上你喜欢的颜色，擦掉其他的线条，一幅美丽的图形就完成了点拨 此图形由有公共顶点的四个相同的四边形组成,且每个四边形有一个顶点分布在“正方形框架”的四个角上,因此,可先剪一个正方形的纸片,作出它的四条对称轴,再以正方形对角线的一半为三角形的一条边,构造三角形,最后,利用轴对称或图形的旋转作出图形重难点2 平面直角坐标系中的对称(1)A(x,y)关于x轴的对称点A1(x,-y),与关于y轴的对称点A2(-x,y)关于原点对称(2)明确平面直角坐标系中,关于x轴,y轴对称属于轴对称,关于原点对称属于中心对称,例2 已知:A(-2,-3),B(-1,2),C(3,-4),D(0,3)，E(x,-y),F(-a,b-2)各点。求:(1)关于x轴的对称点A1,B1,C1,D1,E1,F1的坐标(2)关于y轴的对称点A2,B2,C2,D2,E2,F2的坐标(3)关于原点对称的点A3,B3,C3,D3,E3,F3的坐标(4)A1和A2,B1和B2,C1和C2,D1和D2,E1和E2,F1和F2的关系答案 (1)A1(-2,3),B1(-1，-2），C1(3,4),D1（0，-3）,E1(x,y),F1(-a,-b+2).(2)A2(2,-3),B2(1,2),C2(-3,-4),D2(0,3),E2(-x,-y),F2(a,b-2)(3)A3(2,3),B3(1,-2),C3(-3,4),D3(0,-3),E3(-x,y),F3(a,-b+2)(4)A1和A2,B1和B2,C1和C2,D1和D2,E1和E2,F1和F2关于原点中心对称。方法提示明确关于x轴对称的两点横坐标不变,纵坐标互为相反数,关于y轴对称的两点横坐标互为相反数,纵坐标不变;关于原点对称的两点横坐标、纵坐标都互为相反数。类题突破2 (1)在平面直角坐标系中,描出下列各点:(0,0),(1,2),(1,0),(2,2),(2,0),并用线段顺次连接各点,你得到了怎样的图案?若各点纵坐标不变,横坐标分别乘以一1,所得的图形与原图形有什么变化?(2)若各点横坐标不变,纵坐标分别乘以-1,所得的图形与原图形有什么变化?若各点横坐标与纵坐标都分别乘以-1,所得的图形与原图形有什么变化?答案(1)如图所示:所得图形与原图形关于y轴成轴对称；（2） 所得图形与原图形关于X轴对称；所得图形与原图形关于原点对称。易错指导易错点 在平面直角坐标系中设计图案出错例 如图,在平面直角坐标系中,ABC的三个顶点分别为A(-1,-1),B(-3,3),C(-4,1)画出ABC绕点A按逆时针旋转90后的AB2C2,并写出点C的对应点C2的坐标错解 ABC绕点A