人教版八年级下册数学第17章《勾股定理》讲义第5讲（有答案）

第5讲 勾股定理第一部分 知识梳理知识点一：勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为， 那么。 知识点二：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： ，化简可证方法二： 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为 所以方法三： ，化简得证知识点三：勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形知识点四：勾股定理的应用、已知直角三角形的任意两边长，求第三边在中， 则， 、知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 、可运用勾股定理解决一些实际问题第二部分 考点精讲精练考点1、勾股定理的证明应用、面积问题例1、如图字母B所代表的正方形的面积是（ ） A、12 B、13 C、144 D、194 例2、直角三角形的两条直角边长为a,b,斜边上的高为h,则下列各式中总能成立的是（ ） A、ab=h2 B、a+b=2h C、+= D、+=例3、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、 2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1+S2+S3+S4=_例4、4个全等的直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c现把它们适当拼合，可以得到如图所示的图形，利用这个图形可以验证勾股定理，你能说明其中的道理吗？请试一试 例5、已知：如图，ABC中，C90，D为AB的中点，E、F分别在AC、BC上，且DEDF求证：AE2BF2EF2举一反三：1、如图，带阴影的矩形面积是（ ）平方厘米。A9 B24 C45 D512、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是（ ）A.13 B.26 C.47 D.94 第1题 第2题3、勾股定理是几何中的一个重要定理。在我国古算书周髀算经中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载。如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理。图2是由图1放入矩形内得到的，AB=3，AC=4，则D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（ ） A、90 B、100 C、110 D、1214、如图，已知：在中，分别以此直角三角形的三边为直径画半圆，试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等5、如图，已知：，于P求证： 6、一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法.如图，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连结，设，请利用四边形的面积证明勾股定理：.abAADAABCbc考点2、勾股定理求边长、网格问题例1、已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ） A、25B、14 C、7 D、7或25例2、ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则ABC的周长是（ ） A、42 B、32 C、42或32 D、37或33例3、已知x、y为正数，且x24+（y23）2=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（ ）A、5 B、25 C、7 D、15例4、如图，每个小方格的边长都为1求图中格点四边形ABCD的面积例5、如图所示,有一条小路穿过长方形的草地ABCD,若AB=60m,BC=84m,AE=100m,则这条小路的面积是多少?举一反三：1、在RtABC中，C=90 若AB=41，AC=9，则BC=_； 若AC=1.5，BC=2，则AB=_， ABC的面积为_2、Rt一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt的周长为（ ） A、121B、120C、132D、不能确定3、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ） A、450a元 B、225a 元 C、300a元 D、150a元15020m30m第3题图4、如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”如图（一）中四边形ABCD就是一个“格点四边形”（1）求图（一）中四边形ABCD的面积；（2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG，使EFG的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形 图（一） 图（二）5、如图所示,ABC中,ACB=90,CDAB于D,且AB+BC=18cm,若要求出CD和AC的长,还需要添加什么条件?考点3、实际应用求长度问题例1、小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水平刚好相齐,河水的深度为（ ） A、2m B、2.5cm C、2.25m D、3m例2、小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？例3、如下图，一个梯子AB长为10米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C间的距离为6米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得DB的长为2米，则梯子顶端A下落了多少米.例4、中华人民共和国道路交通安全法规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70km/h如图，一辆小汽车在一条城市道路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪的正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m这辆小汽车超速了吗？例5、在一棵树的10米高B处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处；另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高多少米?举一反三：1、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ） A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里北南A东2、已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为_3、一个无盖的纸盒，底面是面积为81cm2的正方形，高是12cm.小丽将一小木棒如图放置,量得露出纸盒外面部分长是2cm.请求出小丽的小木棒总长度.4、如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？ADEBC第 4 题图5、已知，ABC中，AB=17cm，BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明ABC是等腰三角形。考点4、实际应用折叠、旋转问题例1、如图,已知矩形ABCD沿着直线BD折叠,使点C落在C处,BC交AD于E,AD=8,AB=4,则DE的长为（ ）A、3 B、4 C、5 D、6例2、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6，BC=8。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于多少？ ACDBE例 2例3、如图所示,RtABC中,BC是斜边,将ABP绕点A逆时针旋转后,能与ACP重合,如果AP=3,你能求出PP的长吗? 例4、如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）想一想，此时EC有多长？例5、如图，长方形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.举一反三：1、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则ABE的面积为（ ） A、6cm2 B、8cm2 C、10cm2 D、12cm22、如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则EB的长是（ ）A3 B4 C D5 ABEFDC第1题图 第2题3、如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿直线AD翻折，点C落在点C的位置，BC=4,求BC的长.4、把一张矩形纸片（长方形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF若AB = 3 cm，BC = 5 cm，重叠部分DEF的面积是多少? 5、如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米2万，请你在河流L上选择水厂的位置M（作图并标注菁优网出来），使铺设水管的费用最节省，并求出总费用考点5、实际应用最短距离问题例1、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是_ 例2、如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？AB小河东北牧童小屋例3、如图，长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少? 例4、如图，某沿海开放城市A接到台风警报，在该市正南方向100km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD=60km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？ABCD例5、如图，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（取3.14，结果保留1位小数，可以用计算器计算）举一反三：1、如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要多少米? 2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 3、如图所示，在公路AB旁有一座山，现有C处需要爆破，已知点c与公路上的停靠站A距离为300M，与公路上的另一停靠站的距离为400m，且CA垂直CB，为了安全起见，距离爆破点C周围半径250m范围内不得进入，问在进行爆破时，AB段公路是否需要暂时封锁？4、如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5610(单位：)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13， 小孔到图中边AB距离为1，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h，则h的最小值大约为多少.（精确到个位参考数据： ） 5、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要多少cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要多少cm？BA6cm3cm1cm第三部分 课堂小测1、如果Rt两直角边的比为512，则斜边上的高与斜边的比为（） A、6013 B、512 C、1213 D、601692、直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（ ）A96 B49 C24 D483、如图，在直角坐标系中，OBC的顶点O（0，0），B（6，0），且OCB=90，OC=BC，则点C关于y轴对称的点的坐标是（ ） A（3，3） B.（3，3） C.（3，3） D.（3，3）4、如图，在边长为c的正方形中，有四个斜边为c的全等直角三角形，已知其直角边长为a，b.利用这个图试说明勾股定理?C5、如图，水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.6、如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.8米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.7、如图，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.第四部分 提高训练1、如图，OP=1，过P作PP1OP，得OP1=；再过P1作P1P2OP1且P1P2=1，得OP2=；又过P2作P2P3OP2且P2P3=1，得OP3=2；依此法继续作下去，得OP2019 。2、如图，ABC中，AB=AC=2，若P为BC的中点，则AP2+BPPC的值为 ；若BC边上有100个不同的点P1，P2，P100，记mi=APi2+BPiPiC（i=1，2，100），则m1+m2+m100的值为 。 （1） （2）3、ABC中，BC=a，AC=b，AB=c若C=90，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2若ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论。4、如图，在等边ABC中，线段AM为BC边上的中线，动点D在直线AM上时，以CD为一边且在CD的下方作等边CDE，连接BE（1）填空：ACB= 度； （2）当点D在线段AM上（点D不运动到点A）时，试求出的值；（3）若AB=8，以点C为圆心，以5为半径作C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D运动的过程中（点D与点A重合除外），试求PQ的长第五部分 课后作业1、利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_，该定理的结论其数学表达式是_2、已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则RtABC的面积是（） A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm23、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则三角形的面积为（） A、56 B、48C、40 D、324、如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）A、+1 B、+1 C、-1 D、5、如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA=，AB=1，则点A1的坐标是（ ） A、() B、() C、() D、()6、如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？7、小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高度。8、如图，某学校（A点）与公路（直线L）的距离为300米，又与公路车站（D点）的距离为500米，现要在公路上建一个小商店（C点），使之与该校A及车站D的距离相等，求商店与车站之间的距离9、如图，长方体盒子（无盖）的长、宽、高分别是12cm ,8cm,30cm,在AB中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则最短路程是多少？10、如图，某货船以24海里时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60的方向上。该货船航行30分钟到达B处，此时又测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内