人教版八年级下册数学 第19章《一次函数》讲义 第21讲一次函数与方程不等式的应用

第21讲 一次函数与方程不等式的应用第一部分 知识梳理知识点一：一元一次方程与一次函数的关系直线与x轴交点的横坐标，就是一元一次方程的解。求直线与x轴交点时，可令，得到方程，解方程得，直线交x轴于，就是直线与x轴交点的横坐标。 解一元一次方程当时，求一次函数的值 （数的角度）一次函数图象与x轴的交点坐标 （形的角度）知识点二：一次函数与一元一次不等式的关系任何一元一次不等式都可以转化为或(为常数，)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量相应的取值范围。解一元一次不等式即一次函数在x轴上方的部分图象所对应的值解一元一次不等式即一次函数在x轴下方的部分图象所对应的值知识点三：一次函数与二元一次方程组（1）、以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=的图象相同。（2）、二元一次方程组的解可以看作是两个一次函数y=和y=的图象交点。（3）、一次函数的解析式本身就是一个二元一次方程，直线上有无数个点，每个点的横纵坐标都满足二元一次方程，因此二元一次方程的解也就有无数个。第二部分 考点精讲精练考点1、一元一次方程与一次函数的关系例1、若方程x-3=0的解也是直线y=（4k+1）x15与x轴的交点的横坐标，则k的值为（ ） A、1 B、0 C、1 D、1例2、已知方程kx+b=0的解是x=3，则函数y=kx+b的图象可能是（ ） A、 B、 C、 D、例3、已知一次函数与的图象相交于点，则_例4、画出函数y=2x+1的图象，利用图象求：（1）方程2x+1=0的根； （2）不等式2x+10的解；（3）求图象与坐标轴的两个交点之间的距离。例5、如图，直线L：与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）,动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。（1）求A、B两点的坐标；（2）求COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；（3）当t何值时COMAOB，并求此时M点的坐标。举一反三：1、方程2x+12=0的解是直线y=2x+12（ ） A、与y轴交点的横坐标 B、与y轴交点的纵坐标 C、与x轴交点的横坐标 D、与x轴交点的纵坐标2、若直线与直线相交于x轴上，则直线不经过（） A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限3、已知一次函数的图象经过点，则不求的值，可直接得到方程的解是_4、已知一次函数y=kx3，它的图象如图所示，A、B两点分别为图象与x轴、y轴的交点（1）求此函数的解析式；（2）求A、B两点的坐标5、一盘蚊香长105cm，点燃时每小时缩短10cm（1）请写出点燃后蚊香的长y（cm）与蚊香燃烧时间t（h）之间的函数关系式；（2）该蚊香可点燃多长时间？考点2、一次函数与一元一次不等式的关系例1、一次函数与的图象如图，则下列结论；当时，中，正确的个数是（ ） A、0 B、1 C、2 D、3例2、已知，当时，x的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、例3、画出函数y=2x+6的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当x_时，y0 ，（2）方程2x+6=0的解是_（3）如果这个函数y的值满足-4y4，求相应的x的取值范围例4、某公司到果园基地购买某种优质水果，慰问医务工作者果园基地对购买量在3000千克以上（含3000千克）的有两种销售方案，甲方案：每千克9元，由基地送货上门；乙方案：每千克8元，由顾客自己租车运回已知该公司租车从基地到公司的运输费为5000元（1）分别写出该公司两种购买方案的付款y（元）与所买的水果量x（千克）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围（2）当购买量在什么范围时，选择哪种购买方案付款最少？并说明理由例5、如图，L1，L2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费，单位：元)与照明时间x(h)的函数图象，假设两种灯的使用寿命都是2019h，照明效果一样 （1）根据图象分别求出L1，L2的函数关系式 （2）当照明时间为多少时，两种灯的费用相等? （3）小亮房间计划照明2500h，他买了一个白炽灯和一个节能灯，请你帮他设计最省钱的用灯方法(直接给出答案，不必写出解答过程)举一反三：1、如图是直线y=2x+2的图象，则方程2x+2=0的解是 ，不等式2x+20的解集为 ，不等式2x+22的解集为 2、如果一次函数y=kx+b（k0）的图象与x轴交点坐标为（2，0），如图所示则下列说法：y随x的增大而减小；关于x的方程kx+b=0的解为x=2；kx+b0的解是x2；b0其中正确的说法有 （1） （2）3、若解方程得，则当x_时直线上的点在直线上相应点的上方4、学校准备五一组织老师去隆中参加诸葛亮文化节，现有甲、乙两家旅行社表示对老师优惠，设参加文化节的老师有x人，甲、乙两家旅行社实际收费为y1、y2，且它们的函数图象如图所示，根据图象信息，请你回答下列问题：（1）当参加老师的人数为多少时，两家旅行社收费相同？（2）当参加老师的人数为多少人时，选择甲旅行社合算？（3）如果全共有50人参加时，选择哪家旅行社合算？5、小明准备将平时的零用钱节约一些储存起来，他已存有50元，从现在起每个月存12元 （1）试写出小明的存款数与从现在开始的月份数之间的函数关系式 （2）小明的同学小丽以前没有存过零用钱，听到小明在存零用钱， 表示从现在起每个月存18元，争取超过小明请你在同一平面直角坐标系中分别画出小明和小丽存款数和月份数的函数关系的图象半年以后小丽的存款数是多少？能否超过小明？ 至少几个月后小丽的存款数超过小明？6、在国道202公路改建工程中,某路段长4000米,由甲乙两个工程队拟在30天内（含30天）合作完成.已知两个工程队各有10名工人（设甲乙两个工程队的工人全部参与生产,甲工程队每天的工作量相同,乙工程队每人每天的工作量相同）.甲工程队1天、乙工程2天共修路200米；甲工程队2天、乙工程队3天共修路350米.（1）试问甲乙两个工程队每天分别修路多少米?（2）甲乙两个工程队施工10天后,由于工作需要需从甲队抽调m人去学习新技术,总部要求在规定时间内完成,请问甲队可以抽调多少人?（3）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元,乙工程队每天的施工费用为0.35万元,要使该工程的施工费用最低,甲乙两队各做多少天?最低费用为多少?考点3、一次函数与二元一次方程组例1、图中两直线L1，L2的交点坐标可以看作方程组（ ）的解 A B. C D. 例2、把一个二元一次方程组中的两个方程化为一次函数画图象，所得的两条直线平行，则此方程组（ ） A、无解 B、有唯一解 C、有无数个解D、以上都有可能例3、已知方程组（为常数，）的解为，则直线和直线的交点坐标为_例4、已知y=p+z，这里p是一个常数，z与x成正比例，且x=2时，y=1；x=3时，y=1（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）如果x的取值范围是1x4，求y的取值范围例5、阅读：我们知道，在数轴上，表示一个点，而在平面直角坐标系中，表示一条直线；我们还知道，以二元一次方程的所有解为坐标的点组成的图形就是一次函数的图象，它也是一条直线，如图观察图可以得出：直线与直线的交点的坐标(1，3)就是方程组的解，所以这个方程组的解为；在直角坐标系中，表示一个平面区域，即直线以及它左侧的部分，如图；也表示一个平面区域，即直线以及它下方的部分，如图回答下列问题：（1）在下面的直角坐标系中，用作图象的方法求出方程组的解；（2）在上面的直角坐标系中，用阴影表示所围成的区域（3）如图，表示阴影区域的不等式组为： .举一反三：1、已知 是方程组的解，那么一次函数y=3x和y=+1的交点是_2、方程组没有解，说明一次函数y=2x与y= x+的图象必定（ ） A、相交 B、平行 C、重合 D、不能确定3、若方程组有无穷多组解，则2k+b2的值为（ ） A、4 B、5 C、8 D、104、已知直线y=2xk+3和直线y=3x+2k交于第一象限，且k是非负整数，求k的值及交点坐标5、在直角坐标系中，直线L1的解析式为y=2x-1，直线L2过原点且L2与直线L1交于点P（-2，a）（1）试求a的值；（2）试问（-2，a）可以看作是怎样的二元一次方程组的解；（3）设直线L1与x轴交于点A，你能求出APO的面积吗？试试看；（4）在直线L1上是否存在点M，使点M到x轴和y轴的距离相等？若存在，求出点M的坐标；不存在，说明理由 第三部分 课堂小测1、已知直线和交于轴上同一点，的值为（ ） A、B、 C、1 D、2、一次函数，当时，那么不等式的解集为（） A、 B、 C、 D、3、若方程组的解为，则直线与的交点坐标为 .4、一次函数A（kb为常数，且k0）的图象如下右图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=4的解为 5、已知一次函数与的交点坐标为（1，3），则二元一次方程组的解是 6、如图，直线l1的函数解析式为y=2x2，直线l1与x轴交于点D直线l2：y=kx+b与x轴交于点A，且经过点B，如图所示直线l1、l2交于点C（m，2）（1）求点D、点C的坐标；（2）求直线l2的函数解析式；（3）求ADC的面积；（4）利用函数图象写出关于x、y的二元一次方程组的解7、为了学生的身体健康，学校课桌、凳的高度都是按一定的关系科学设计的小明对学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究，发现它们可以根据人的身高调节高度于是，他测量了一套课桌、凳上相对应的四档高度，得到如下数据：第一档第二档第三档第四档凳高x（cm） 37.0 40.0 42.0 45.0桌高y（cm） 70.0 74.8 78.0 82.8（1）小明经过对数据探究，发现：桌高y是凳高x的一次函数，请你求出这个一次函数的关系式；（不要求写出x的取值范围）；（2）小明回家后，测量了家里的写字台和凳子，写字台的高度为77cm，凳子的高度为43.5cm，请你判断它们是否配套？说明理由8、为建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A，B两种树木，需要购买这两种树苗1000棵A，B两种树苗的相关信息如表：设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元，解答下列问题：（1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；（2）若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元？（3）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B种树苗多少棵？9、药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药后时间x（h）之间的函数关系如图所示，则当1x6时，求y的取值范围10、黄集中学八年级二班准备外出进行野外考察活动，需要租用一辆大客车一天，现有甲、乙两辆客车租用方案：甲车每天租金180元，另按实际行程每千米加收2元；乙车每天租金140元，另按实际行程每千米加收2.5元。若你是班长，同学们要到100千米以内的某地，为了节省费用，请你决定租用哪辆车合算？第四部分 提高训练1、已知两条直线a1x+b1y=c1和a2x+b2y=c2，当时，方程组 有唯一解?这两条直线相交?你知道当a1，a2，b1，b2，c1，c2分别满足什么条件时，方程组无解?无数多组解?这时对应的两条直线的位置关系是怎样的?2、在直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k0）的图象与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，且使得OAB的面积值等于|OA|+|OB|+3（1）用b表示k；（2）求OAB面积的最小值3、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值第五部分 课后作业1、已知一次已知一次函数y=kx+b当x=1时，y=2，且图象与y轴交点的纵坐标是3，则方程kx+b=0的解为（ ） A、x=3 B、x=1 C、x=1 D、x=32、函数的图象经过点（0，2）和（3，0），则的解集为（ ） A、 B、 C、 D、3、直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2（k1，k2为常数且均不为零）平行，则二元一次方程组解的情况是（ ） A、无解 B、一个解 C、两个解 D、无数解4、当自变量x 时，直线yx1上的点在x轴上方.5、如图，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图像，则不等式组的解为 .6、如图中两条直线l1和l2和交点坐标可以看作下列四个方程组中 的解（填序号） （5） （6）7、某二元一次方程的解是（m为常数）若把x看做平面直角坐标系中一个点P的横坐标，y看做点P的纵坐标，下列4种说法： 点P（x，y）一定不在第三象限； 点P（x，y）可能是坐标原点； 点P（x，y）的纵坐标y随横坐标x增大而增大； 点P（x，y）的纵坐标y随横坐标x增大而减小 其中正确的是 （写出序号）8、某市出租汽车收费标准如下：3千米以内（含3千米）收费8元；超过3千米的部分，每千米收费1.4元。（1）写出应收车费y（元）与出租汽车行驶路程x（千米）之间的函数关系式。（2）小明乘坐出租车行驶4千米应付多少元？（3）若小华付车费19.2元，则出租车行驶了多少千米？9、某饮料厂以300千克的A种果汁和240千克的B种果汁为原料，配制生产甲、乙两种新型饮料，已知每千克甲种饮料含0.6千克A种果汁，含0.3千克B种果汁；每千克乙种饮料含0.2千克A种果汁，含0.4千克B种果汁饮料厂计划生产甲、乙两种新型饮料共650千克，设该厂生产甲种饮料x（千克）（1）列出满足题意的关于x的不等式组，并求出x的取值范围；（2）已知该饮料厂的甲种饮料销售价是每1千克3元，乙种饮料销售价是每1千克4元，那么该饮料厂生产甲、乙两种饮料各多少千克，才能使得这批饮料销售总金额最大？10、小亮家最近购买了一套住房准备在装修时用木质地板铺设居室，用瓷砖铺设客厅经市场调查得知：用这两种材料铺设地面的工钱不一样小亮根据地面的面积，对铺设居室和客厅的费用（购买材料费和工钱）分别做了预算，通过列表，并用x(m2)表示铺设地面的面积，用y（元）表示铺设费用，制成下图请你根据图中所提供的信息，解答下列问题：（1）预算中铺设居室的费用为 元/ m2，铺设客厅的费用为 元/ m2；（2）表示铺设居室的费用y（元）与面积x(m2)之间的函数关系式为 ，表示铺设客厅的费用y（元）与面积x(m2)之间的函数关系式为 ；（3）已知在小亮的预算中，铺设1m2的瓷砖比铺设1m2的木质地板的工钱多5元；购买1m2的瓷砖是购买1m2的木质地板费用的.那么铺设每平方米木质地板、瓷砖的工钱各是多少？购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用各是多少？参考答案第21讲 一次函数与方程不等式的应用第二部分 考点精讲精练考点1、一元一次方程与一次函数的关系例1、C例2、C 例3、16例4、（2）不等式2x+10的解应为函数图象上不在x轴下方的点的横坐标，所以（3）由勾股定理得它们之间的距离为。例5、举一反三：1、C2、C3、14、（1）由图象可函数过点（2，-1）可得：k=1此函数的解析式为：y=x-3（2）令x=0得：y=-3令y=0得：x=3A（3，0），B（0，-3）5、（1）蚊香的长等于蚊香的原长减去燃烧的长度，y=105-10t（0t10.5）；（2）蚊香燃尽的时候蚊香的长度y=0，105-10t=0，解得：t=10.5，该蚊香可点燃10.5小时考点2、一次函数与一元一次不等式的关系例1、B例2、C例3、（1）x3（2）x=3（3）5x1例4、解 (1)；(2)当，即9x8x5000时，解得x5000所以当x5000时，两种付款一样；解得3000x5000 所以当3000x5000时，选择甲方案付款最少；解得x5000所以当x5000时，选择乙方案付款最少例5、解析：(1)设L1的解析式为y1=k1x+2，由图象得17=500k1+2，解得k=003， y1=003x+2(0x2019) 设L2的解析式为y2=k2x+20， 由图象得26=500k2+20，解得k2=0012 y2=0012x+20(0x2019) (2)当y1=y2时，两种灯的费用相等， 003x+2=0012x+20，解得x=1000 当照明时间为1000h时，两种灯的费用相等 (3)最省钱的用灯方法：节能灯使用2019h，白炽灯使用500h 提示：本题的第(2)题，只要求出L1与L2交点的横坐标即可第(1)题中，求出L1与L2的解析式，一定不能忽略自变量x的取值范围，这为第(3)题的分析、设计方案作了铺垫在第(3)题中，当x1000h时，L2在L1的下方，即采用节能灯省钱，因x最多为2019h，故求以下的500h应采用白炽灯举一反三：1、1 ; X1 ； X02、 3、X24、（1）当两函数图象相交时，两家旅行社收费相同，由图象知为30人；（2）由图象知：当有30人以下时，y1y2，所以选择甲旅行社合算；（3）由图象知：当有50人参加时，y1y2，所以选择乙旅行社合算；5、解析：（1）设小明的存款为y1，从现在开始的月份数为x，则y1=12x+50 （2）设小丽的存款数为y2，则y2=18x图象略 当x=6时，y1=126+50=72+50=122，y2=186=108 因108y1时，18x12x+50，x8, 至少9个月后小丽的存款数超过小明6、考点3、一次函数与二元一次方程组例1、B例2、A例3、（2，3）例4、例5、举一反三：1、（，）2、B3、B4、5、第三部分 课堂小测1、C2、C3、（11，4）4、x=35、6、7、8、（1）设购买A种树苗x棵，则购买B种树苗棵，由题意，得y=（20+5）x+（30+5）=-10x+35000；（2）由题意，可得0.90x+0.95=925，解得x=500 当x=500时，y=-10500+35000=30000，即绿化村道的总费用需要30000元；（3）由（1）知购买A种树苗x棵，B种树苗棵时，总费用y=-10x+35000，由题意，得-10x+3500031000，解得x400，所以1000x600，故最多可购买B种树苗600棵9、10、解：设租用甲车所需费用为（元），租用乙车费用为（元），行驶的路程为x（千米），则，。当时，即，解得当时，即，解得时，即，解得来源:学#科#网所以，如果要到小于80千米的地方的话，租用乙车合算，如果刚好等于80千米的地方，租用两车都可以，如果大于80千米的地方，租用甲车合算。第四部分 提高训练1、解析：对于两个一次函数y1=k1x+b1，y2=k2x+b2而言： (1)当k1k2时，两直线相交 (2)当k1=k2，且b1b2时，两直线平行 (3)当k1=k2，且b1=b2时，两直线重合 故对两直线a1x+b1y=c1与a2x+b2y=c2来说： (1)当 时，两直线相交，即方程组有唯一解 (2)当 =时，方程组无解，两直线平行(3)当=时，方程组有无数多个解，两直线重合 提示：方程组的解就是两个一次函数的交点坐标，当两直