人教版选修21第三章平面的法向量与平面的向量表示讲义

案例（二）-精析精练课堂 合作 探究重点难点突破知识点一 平面的法向量 1.平面法向量的定义 (1)定义:已知平面a如果向量n的基线与平面a垂直,则向量n叫做平面a的法向量或说向量n与平面a正交. (2)平面法向量的性质:平面a的一个法向量垂直于与平面a共面的所有向量;一个平面的法向量有无数个,一个平面的所有法向量互相平行. 2.平面的法向量的求法 方法一:找到一条与已知平面垂直的直线,则该直线的任意方向向量都是该平面的法向量 方法二:待定系数法,即若要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下:设出平面的法向量为n=(x,y,x)；找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)；根据法向量的定义,建立关于x,y,z的方程组解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 这里需要说明的是:方法二必须建立空间直角坐标系,而方法一却不一定要建立空间直角坐标系,视具体情况而定;在求平面的法向量时,要先找有没有和平面垂直的直线,若没有则用待定系数法;在利用方法二求解平面的法向量时,方程组有无数多个解,只需给x,y,之中的一个变量赋予一个特值,即可确定平面的一个法向量.赋予的值不同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量. 3.平面法向量的作用 详解:设n1,m2分别是平面a,的法向量,m是直线l的方向向量,则有:a或amn1mn1=0；amn1；a或a与重合n1n2；a=n1n2n1n2=0. 知识点二 三垂线定理及其逆定理. 三垂线定理及逆定理实际上反映的是斜线和射影的关系. 三垂线定理的符号描述 如右图,PO、PA分别是平面a的垂线、斜线,OA是PA在a内的射影,aa,且aOA,则aPA.三垂线定理的逆定理的符号描述如上图,PO、PA分别是平面a的垂线、斜线,OA是PA在a内的射影,aa,且aPA,则aOA.关于定理的应用,首先是找出平面的垂线,至于射影则是由垂足,斜足来确定的,因而是第二位的,由此,我们可以得出三垂线定理证明ab的一个程序:一垂、二射、三证,即:第一:找平面及平面的垂线;第二:找射影线(或斜线),这时a,b便成为平面内的一条直线及一条斜线(或射影);第三:证明射影(或斜线)与直线a垂直,从而得出a,b垂直. 典型例题分析 题型1 求平面的法向量 【例1】已知平面a经过三点A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求平面a的一个法向量.解析 用待定系数法求解平面a的法向量.答案 因为A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),所以=(1,-2,-4),=(2,-4,-3).设平面a的法向量为n=(x,y,z),依题意,应有n=0,n=0,即有解得令y=1,则x=2,所以平面a的一个法向量为n=(2,1,0方法指导 用待定系数法求解平面的法向量,关键是在平面内找两个不共线的向量,然后列出方程组,方程组有无数解取其中的一个解即可,但要注意在取方程组的一组解时,不能都取零,否则得到零向量,而零向量的方向不能确定,不能作为法向量.【变式训练1】 已知点A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),求平面ABC的一个单位法向量答案 因为A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,5),所以=(-3,4,0),=(-3,0,5).设平面ABC的法向量为n=（x,y,z)依题意，应有n=0,n=0,即有解得,即平面A的法向量为n(x，x,x),所以平面ABC的单位向量为n0=(,)或n0=-=(-,-,-). 【例2】 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的法向量n和单位法向量n0.解析 首先建立空间直角坐标系,再用待定系数法求解平面的法向量.答案 建立空间直角坐标系,如图,则A(1,0,0),C(0,1,0).设平面ACD1的法向量n=(x,y,1).得=(-1,1,0),=(-1,0,1).又n面ACD,得n,n,所以有得n=(1,1,1),n0=.方法指导 用待定系数法求解平面的法向量,应该说是个基本方法,它具有操作简单的特点,应切实掌握其实,对于本题来说,却未必是一个好的方法,这是因为我们可以利用三垂线定理得出直线DB1AD1,DB1CD1,从而DB1平面ACD1,所以就是平面ACD1的一个法向量. 【变式训练2】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在BC,DD1上是否存在点E,F,使是平面ABF的法向量?若存在,请证明你的结论,并求出点E,F满足的条件;若不存在,请说明理由.答案 建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B(1,1,1),B1(1,1,0).设F(0,0,h),E(m,1,1),则=(0,1,0),=(m-1,0,1),=(1,0,1-h).=0,ABB1E.若是平面ABF的法向量,则=m-1+1-h=m-h=0,h=m即E,F满足D1F=CE时,是平面ABF的法向量.所以存在,且E,F满足D1F=CE. 题型2 三垂线定理及其逆定理的应用 【例3】 如下图,下列5个正方体图形中,线段是正方体的条对角线,点M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出面MNP的图形的序号是 .(写出所有符合要求的图形序号)解析 本题以正方体为依托,主要考查直线与平面垂直的判定,比较深刻地考查了空间想象能力.为了得到本题答案,必须对5个图形逐一进行判别.对于给定的正方体,位置固定,截面MNP变动,与面MNP是否垂直,可以从正、反两方面进行判断,MN、NP、MP三条线中,若有一条不垂直,则可断定与面MNP不垂直；若有两条相交直线与都垂直,则可断定面MNP. 答案 解法一:如果记正方体对角线所在的对角线截面为a,各图可讨论如下: 在图中,MN、NP在平面a上的射影为同一直线,且与垂直故面MNP.事实上,还可这样考虑:在上底面的射影是MP的垂线,故MP；在左侧的射影是MN的垂线,故MN,从而面MNP. 在图中,由MP面a,可证明MN在平面a上的射影不是的垂线,故不垂直于MN.从而不垂直于面MNP. 在图中,点M在a上的射影是的中点,点P在a上的射影是上底面的中点,知MP在a上的射影不是的垂线,得不垂直于面MNP. 在图中,平面a平分线段MN,故MN,又在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直,从而MP,故平面MNP. 在图中,点N在平面a上的射影是对角线的中点,故M、P在平面a上的射影分别是下、下底面对角线的4等分点,三个射影在同一条直线上,且与这一直线垂直从而面MNP. 至此,得为本题答案.解法二：建立空间直角坐标系O-xyz,设正方体的棱长为2,则对角线的方向向量可取为=(2,2,-2). 对图,有=(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0), =(0,0,-1)-(1,0,0)=(-1,0,-1), 由=0,=0,得面MNP. 对图,有=(2,2,-1)-(1,0,-2)=(1,2,1), 由0知与面MNP不垂直. 对图,有=(0,1,0)-(2,0,-1)=(-2,1,1), 由0知与面MNP不垂直. 对图,有=(1,0,-2)-(2,0,-1)=(-1,0,-1), =(0,2,-1)-(2,0,-1)=(-2,2,0), 由=0,=0,得面MNP. 对图,有=(2,1,0)-(1,0,-2)=(1,1,2), =(0,2,-1)-(1,0,-2)=(-1,2,1), 由=0,=0,得面MNP 综合得本题答案为. 方法指导 从解法二可以看到:应用向量法讨论两直线是否垂直十分方便,操作也比较简单,无须多动脑筋,只需要计算正确即可. 【变式训练3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是棱AB、BC、BB1上的点,且BE=BF=BG,求证:BD1平面EFG. 答案 如下图所示,因为四边形ABCD是正方形,BE=BF,所以EFAC,又因为ACBD,所以EFBD.因为BD为BD1在平面AB上的射影,所以BD1EF(三垂线定理). 同理BD1EG,故BD1平面EFG.【例4】 如右图,P是ABC所在平M面外一点,且PA平面ABC,若O,Q分别是ABC和PBC的垂心,求证:OQ平面PBC. 解析 欲证线面垂直,只须证明OQ垂直于面PBC中的两条相交线,据重心,结合PA面ABC,利用三垂线定理其逆定理及求解 答案. 因为OQ平面PAE,所以OQBC,因为PA平面ABC,BFC平面ABC所以BFPA,又因为O是ABC的垂心,所以BFAC,所以BF平面PAC,则FM是BM在平面PAC上的射影. 因为BMPC,根据三垂线定理的逆定理,可得FMPC,从而PC平面BFM,又OQ平面BFM,所以OQPC,又PCBC=C,所以OQ平面PBC.方法指导 三垂线定理及其逆定理是证明线线垂直,特别是异面直线垂直的常用工具.利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直的问题时,解决问题的关键是找准“一面三线”.【变式训练4】如下左图,在正三棱柱ABC=A1B1C1中,AB1BC1,求证:A1CBC1.答案 如上右图,取BC、B1C1的中点分别为D、D1,由正三棱柱的性质知AD面BCC1B1,A1D1面BCC1B1,所以B1D、CD1分别为AB1、A1C在面BCC1B1上的射影.因为AB1BC1,所以B1DBC1(三垂线定理的逆定理)又D、D1分别为BC、B1C1的中点,所以B1DCD1,所以CD1BC1,所以BC1A1C(三垂线定理). 题型3 利用法向量证明平行与垂直 【例5】已知正方体OABC-O1A1B1C1的棱长为1,E是C1O1上的点,且C1E=EO1,F是CC1上的点,且C1F=FC. (1)求平面A1BC1的一个法向量； (2)证明EF平面A1BC1. 解析 一建立恰当的空间直角坐标系,用待定系教法求出平面A1BC1的一个法向量n,然后证明n. 答案 建立如右图所示的空间直角坐标系,则B(1,1,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1). (1)设n=(x,y,z)是平面A1BC1的一个法向量,则n,n,从而n=0,n=0=(0,-1,1),=(-1,0,1),x=z=y.取x=y=z=1,则n=(1,1,1)为平面A1BC1的一个法向量.(2) 要证明EF平面A1BC1只要证明n.E(0,1)F(0,1,),=(0,-).n=-=0,n,E平面A1BC1.又EF不在平面A1BC1内,EF平面A1BC1.方法指导 由于有了第(1)小题,所以产生了上面第(2)小题的证明方法对于第(2)小题的证明也可以由=-=(-)=(-)=,得,平面A1BC1,又EF平面A1BC1,故EF平面A1BC1.或由=(0,-),=(0,1,-1)=3来证明. 【变式训练5】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E、F分别是BB1、DD1的中点,求证: (1)FC1平面ADE； (2)平面ADE平面B1C1F.答案 如下图,建立空间直角坐标系D-xyz,则有D(0,0，0)、A(2,0,0)、C(0,2,0)、C1(0,2,2)、E(2,2,1)、F(0,0,1),所以=(0,2,1)、=(2,0,0)、=(0,2,1). 设n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面ADE、平面B1C1F的法向量,则n1,n1, 取y=1.则n1=(0,1,-2).同理可求n2=(0,1,-2).(1) n1=(0,1,-2)(0,2,1)=0,n1,又FC1平面ADE,FC1平面ADE.(2) n1n2,平面ADE平面B1C1F. 【例6】 在正方体ABCD一A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P平面C1DE.解析 若要在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P平面C1DE,需建立恰当的空间直角坐标系,并设出点P的坐标,求出平面A1B1P与平面C1DE的法向量,建立方程求出点P的坐标,确定点P的位置. 答案 如右图,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则P(0,1,a),A1(1,0,1),B1(1,1,1)E(,1,0),C1(0,1,1)=(0,1,0,=(-1,1,a-1),=(,1,0)=(0,1,1). 设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x,y,z),则令z=1,则得x=a-1,所以平面A1BD的一个法向量为n1=(a-1,0,1).设平面C1DE的一个法向量为n2=(x,y,z),则令y=1,则得x=-2,z=-1,所以平面CB1D1的一个法向量为n2=(-2,1,-1).因为平面A1B1P平面C1DE,所以n1n2=0,-2(a-1)-1=0,解得a=,所以当P为CC1的中点时,平面A1B1P平面C1DE. 规律总结 此题是确定点P的位置,但考查的是两个平面垂直的充要条件,解决本题的关键是建立恰当的空间直角坐标系,求出两个平面的法向量.这里法向量的坐标一个都不能求错,否则将得到错误答案. 【变式训练6】 如下图,ABC是一个正三角形,EC平面ABC,BDCE,且CE=CA=2BD,M是EA的中点. 求证:平面DEA平面ECA. 答案 不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1),=(,1,-2),=(0,0,2),=(0,2,-1),设面CEA与面DEA的法向量是n1=(x1,y1,z1)、n2=(x2,y2,z3),所以得不妨取n1=(1,-3,0),n2=(3,1,2)从而计算得n1n2=0,所以两个法向量相互垂直,两个平面就相互垂直. 规律 方法 总结 (1)求平面法向量的方法: 求一个平面的法向量的坐标的方法步骤: 建立空间直角坐标系,设出平面的法向量为n=(x,y,z) 找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a=(a0,b1,c1),b=(a2,b2,c2). 根据法向量的定义建立关于x、y、x的方程组 解方程组,取其中的一个解,即得法向量.由于一个平面的法向量有无数个,故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量. (2)用空间向量证明平行问题,主要是运用直线的方向向量和平面的法向量,借助空间中已有的一些关于平行的定理,再通过向量运算来解决. (3)用空间向量证明垂直问题,主要是运用直线的方向向量和平面的法向量,借助空间中已有的一些关于垂直的定理,再通过向量运算来解决.定时 巩固 检测基础训练1. 下列说法中不正确的是 （ ） A.平面a的法向量垂直于与平面a共面的所有向量 B一个平面的所有法向量互相平行 C.如果两个平面的法向量垂直,那么这两个平面也垂直 D.如果a,b与平面a共面,且na,nb,那么n就是平面a的一个法向量【答案】 D(点拨:a与b所在直线必须为相交直线时,n才是平面a的一个法向量,否则不是.)2. 给定下列命题:若n1,n2分别是平面a，的法向量,则n1n2a；若n1,n2分别是平面a,的法向量,则an1n2=0；若n是平面a的法向量,且向量a与平面a共面,则an=0；若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面定不垂直其中正确命题的个数是 （ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】 C(点拔:正确,中ap=mnm,)3. 给定下列命题:若a是平面a的斜线,直线b垂直于a在平面a内的射影,则ab;若a是平面a的斜线,平面内的条直线b垂直于a在平面a内的射影,则ab;若a是平面a的斜线,直线ba,且b垂直于a在平面内的射影,则ab；若a是平面a的斜线,直线ba,且b垂直于a在平面a内的射影,则ab.其中,正确命题的个数是 （ ）A.1 B.2 C.3 D.3【答案】 B(点拨:根据三垂线定理及其逆定理判断只有正确.)4. RtABC的斜边BCC平面a,顶点Aa,则ABC的两条直角边在平面a内的射影与斜边所成的图形只能是 ( ) A.一条线段或一个直角三角形 B一条线段或一个锐角三角形 C.一条线段或一个锐角三角形 D.一个锐角三角形或一个直角三角形 【答案】 C(点拨:当平面ABC平面a时,RtABC在平面内的射影是一条线段.当平面ABC与平面a斜交时,如右图所示,过A作AOa,连接BO,CO,在BOC中,AB2一AO2=BO2,在RtAOC中,AC2-AO2=CO2,在RtABC中,AB2+AC2=BC2,在RtABC中,cosBOC=,将代入,得cosBOC=0,所以BOC是钝角,所以BOC是钝角三角形.)5. 设A是空间任意一点,n为空间任一非零向量,则适合条件n=0的点M的轨迹是 . 【答案】 过点A且与向量n