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,向量数乘运算及几何意义,=,A,B,C,D,(- ),(- ),(- ),-,A,B,C,D,思考1：如图，设点M为ABC的重心，D为BC的中点，那么向量 与 ， 与 分别有什么关系？,对于任意一个三角形， 三角形的三条高的交点叫做垂心， 三角形的三条中线的交点所为重心， 三角形的三条角平分线的交点叫内心， 三角形的三条中垂线的交点叫外心,思考1：如图，设点M为ABC的重心，D为BC的中点，那么向量 与 ， 与 分别有什么关系？,一、向量的数乘运算的定义：,注意：比较两个向量时,主要看它们的长度和方向,(1) 根据定义，求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量)，并进行比较。,(2) 已知向量 a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。,=,二、数乘向量的几何意义,数乘向量的几何意义就是把向量 沿 的方向或反 方向放大或缩短.若 ,当 沿 的方 向放大了 倍.当 沿 的方向缩短了 倍. 当 ,沿 的反方向放大了 倍.当 沿 的反方向缩短了 倍.由其几何意义可以看出 用数乘向量能解决几何中的相似问题.,三、向量的数乘运算满足如下运算律：,向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算,例1：计算下列各式,思考2：若存在实数，使 ，则A、B、C三点的位置关系如何？,例2.如图：已知 ， ， 试判断 与 是否共线, 与 共线,解：,向量 与非零向量 共线 有且仅有一个实数 ，使得 ,三、定理,例3： 如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点 N在线段BD上，且有BN= BD，求证：M、N、C 三点共线。,基础知识反馈,C.,A.,B.,(2).,设 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是( ).,D.,(1).,下列四个说法正确的个数有( ).,B.2个,A.1个,C.3个,D.4个,B,C,例4:若 其中 , 是已知向量,求 ，,分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得,解：记 ， ,3得 ,-得,例5,如图所示，已知 说明 向量 与 的关系,解： 因为,所以， 与 共线同方向，长度是 的3倍,问题: 如果把3都换成k( 不为0),结论会有什么变化?,反馈演练：,1. 在 中,设D为边的中点,求证:,解：因为,（）,所以，所证等式成立,则四边形ABEC是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点.,由向量加法平行四边形法则有,解2:,例6:,如图，在 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取 点D,使BD= OB.DC与OA交于E,设 请用 .,分析: 解题的关键是建立 的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。,解：因为A是BC的中点，所以,练习,（ C ）,
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