向量及其线性运算.ppt

第一节向量及其线性运算,一、向量的概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,四、利用坐标作向量的线性运算,五、向量的模、方向角、投影,六、小结 思考题,向量：,既有大小又有方向的量。 如位移、速度、加速度、力等。,向量表示：,模长为1的向量.,模长为0 的向量.,向量的模：,向量的大小.,或,或,或,1、概念,单位向量：,零向量,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,空间直角坐标系中任一点M与原点构成的向量.,一、向量的概念,2、两非零向量的关系,相等：,大小相等且方向相同的向量.,平行或共线：,方向相同或相反的两个非零向量.,垂直：,方向成90夹角的两个非零向量.,注意：,由于零向量的方向可以看成任意的，故可以认为 零向量与任何向量都平行或垂直。,共面：,把若干个向量的起点放到一起，若它们的终点和公共起点在同一平面上，则称这些向量共面.,1、向量的加减法, 加法：,（平行四边形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,二、向量的线性运算,向量的加法符合下列运算规律：,交换律：,结合律：,加负律：, 减法,2、向量与数的乘法, 定义：,数与向量的乘积符合下列运算规律：,结合律：,分配律：,线性运算：,向量的加法及数乘统称为向量的线性运算。,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.,单位向量的表示,注意：与三个坐标轴同向的单位向量的记法.,两个向量的平行关系,证,充分性显然；,下面证明必要性,两式相减，得,注：此定理是建立数轴的理论依据.,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系Oxyz坐标系 或O;i,j,k坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,1、坐标系的构成, 坐标轴：横轴、纵轴、竖轴, 坐标面：xOy面、 yOz面、zOx面, 卦限：、,三、空间直角坐标系,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,空间的点M,有序数组,特殊点的表示:,坐标轴上的点,坐标面上的点,2、点、向量与坐标,向径,加法,1、向量的加减法与数乘,减法,数乘,2、平行向量的坐标表示式,四、利用坐标作向量的线性运算,向量的模:,1、向量的模与两点间的距离公式:,按勾股定理可得,两点间的距离公式:,五、向量的模、方向角、投影,2、方向角与方向余弦,空间两向量的夹角的概念:,类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.,特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.,非零向量与三条坐标轴正向的夹角称为方向角.,方向角,显然有,方向余弦,由图分析可知,方向余弦通常用来表示向量的方向.,向量的方向余弦,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,例1 已知A(3,3,1) 和B (1,5,1) , 计算,解,解,3、向量在轴上的投影,x轴与向量 的关系,向量在u轴上投影,向量在三坐标轴上的投影,向量投影的性质,解,一、向量概念,1、概念,2、两非零向量的关系,二、向量的线性运算,1、向量的加减法,2、向量与数的乘法,三、空间直角坐标系,1、坐标系的构成,2、点、向量与坐标,四、利用坐标作向量的线性运算,1、向量的加减法与数乘,2、平行向量的坐标表示式,五、向量的模,方向角,投影,1、向量的模与两点间的距离公式,2、方向角与方向余弦,3、向量在轴上的投影,六、小结,思考题,在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？,1、向量的加减法与数乘,2、方向角与方向余弦,第一节向量及其线性运算,A:; B:; C:; D:;,思考题解答,解析几何的产生并不是偶然的。在笛卡尔写几何学以前，就有许多学者研究过用两条相交直线作为一种坐标系；也有人在研究天文、地理的时候，提出了一点位置可由两个“坐标”（经度和纬度）来确定。这些都对解析几何的创建产生了很大的影响。 在数学史上，一般认为和笛卡尔同时代的法国业余数学家费尔马也是解析几何的创建者之一，应该分享这门学科创建的荣誉。 费尔马是一个业余从事数学研究的学者，对数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献。他性情谦和，好静成癖，对自己所写的“书”无意发表。但从他的通信中知道，他早在笛卡尔发表几何学以前，就已写了关于解析几何的小文，就已经有了解析几何的思想。只是直到1679年，费尔马死后，他的思想和著述才从给友人的通信中公开发表。 笛卡尔的几何学，作为一本解析几何的书来看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，为开辟数学新园地做出了贡献。,二、解析几何的基本内容,在解析几何中，首先是建立坐标系。如上图，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系。除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。,坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的。,附录: 坐标法解析几何,解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。解析几何在数学发展中起了推动作用。恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，”,三、解析几何的应用 解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。,在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外， 主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。 在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外， 主要研究柱面、锥面、旋转曲面。,椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。 总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题：一类是满足给定条件点的轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。 运用坐标法解决问题的步骤是：首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；