数字电子线路1.21.3.ppt

在数字电路中，主要研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，因此数字电路又称逻辑电路，其研究工具是逻辑代数（布尔代数或开关代数）。,逻辑变量：用字母表示，取值只有0和1。 此时，0和1不再表示数量的大小， 只代表两种不同的状态。,1.2 基本逻辑函数及运算定律,0和1 可以表示数量大小，也可以表示两种不同的逻辑状态（是与非、有和无、电路通和断、电灯亮和暗） 两种对立逻辑状态：二值逻辑 表示数量大小时：算术运算 表示逻辑状态时：逻辑运算,算术运算和逻辑运算,继续,“逻辑 ”一词始于逻辑学。逻辑学是研究逻辑思维与逻辑 推理规律的一门科学。 1849年英国数学家乔治.布尔(George Boole)首先提出用来描述客观事物逻辑关系的数学方法称为布尔代数。后来被广泛用于开关电路和数字逻辑电路的分析与设计，所以也称为开关代数或逻辑代数。,一、与逻辑（与运算）,例：开关A，B串联控制灯泡Y,A、B都断开，灯不亮。,A断开、B接通，灯不亮。,A接通、B断开，灯不亮。,逻辑代数中的三种基本运算,功能表,将开关接通记作1，断开记作0；灯亮记作1，灯灭记作0。可以作出如下表格来描述与逻辑关系：,真值表,两个开关均接通时，灯才会亮。逻辑表达式为：,实现与逻辑的电路称为与门。 与门的逻辑符号：,二、或逻辑（或运算）,两个开关只要有一个接通，灯就会亮。逻辑表达式为：,功能表,真值表,+,实现或逻辑的电路称为或门。 或门的逻辑符号：,Y=A+B,三、非逻辑（非运算）,功能表,真值表,实现非逻辑的电路称为非门。 非门的逻辑符号：,YA,常用的逻辑运算,1、与非运算： 逻辑表达式为：,2、或非运算： 逻辑表达式为：,3、异或运算：逻辑表达式为：,异或逻辑的运算规则：,00=,0,01=,1,10=,1,0,11=,A0=,A1=,AA=,AA=,A,A,1,0,4、同或运算：逻辑表达式为：,AB,异或和同或互为反运算,同或逻辑的运算规则：,0 0=,1,0 1=,0,1 0=,0,1,1 1=,A 0=,A 1=,A A=,A A=,A,A,1,0,5、 与或非运算：逻辑表达式为：,1.2.2,1、运算定律：, 公理：,（1）,（2）,（3）10=01=0 ；1+0=0+1=1,（4）00=0 ；1+1=1,（5）如果A0 则A=1； 如果A1 则A=0。,1.2.2 逻辑代数中的运算定律及规则,继续, 基本定律：,（1）交换律 AB = BA； A+B = B+A,（2）结合律 A（BC）=（AB）C； A+（B+C）=（A+B）+C,（3）分配律 A（B+C）=AB+AC； A+BC=（A+B）（A+C）,（4）0 1 律 1A=A ； A + 0 =A 0A=0 ； A + 1 =1,（5）互补律,（6）重叠律 A A = A ； A + A =A,（7）反演律摩根定律,口诀：与非等于非或 或非等于非与,（8）还原律,继续,反演律摩根定律的证明,等式两边的真值表如下所示：,re,2、常用公式,1. A+AB =,注: 红色变量被吸收掉！称 吸收律,A,A+B A+B,证明:,A+AB =(A+A) (A+B) ;分配律 =1(A+B) =A+B,A+BC=(A+B)(A+C),3. AB+AB =,4. A(A+B )=,证明: A(A+B )=AA+AB =A+AB =A(1+B) =A,(A+B ) (A+B )=,注: 红色变量被吸收掉！也称 吸收律,A,A,A,5. AB+AC+BC =,证明:,AB+AC+BC =AB+AC+(A+A)BC =AB+AC+ABC+ABC =AB(1+C) +AC(1+B) =AB +AC,AB+AC+BCD =,AB+AC,AB+AC,冗余定律或 多余项定理 或包含律,(A+B)(A+C)(B+C) =,(A+B)(A+C),(A+B)(A+C)(B+C+D) =,(A+B)(A+C),冗余定律或多余项定理的其他形式,同理：此多余项可以扩展成其他形式,证明:,A(AB) =A(A+B) =AA+AB = AB,A(AB) =A(A+B) =AA+AB = A(1+B) =A,AB,A,在任何一个含有变量A 的逻辑代数等式中，如果将所有出现A 的地方都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立，这个规则称为代入规则。,（1）代入规则,例：在等式中 B（A+C）= BA+BC 将其中的A用函数 （ A+D ）代替即： B （ A+D ）+C = B（A+D）+BC,证：等式左边 B （ A+D ）+C = BA+BD+BC 等式右边 B（A+D）+BC = BA+BD+BC,逻辑代数中的基本规则,继续,已知逻辑函数F，欲求其反(补)函数时，可以将F 中所有的： 与“ ”换成或“+”，所有的或“+”换成与“”； “0”换成“1”，“1”换成“0”； 原变量换成反变量，反变量换成原变量。 经过这种变换后所得到的逻辑函数表达式就是反函数F。这个规则称为反演规则。,（2）反演规则, 利用反演规则，可以比较容易地求出一个函数的反函数。 但变换时要注意两点：,要保持原式中逻辑运算的优先顺序； 不是一个变量上的反号应保持不变，否则就要出错。,例题：写出下列逻辑函数的反函数,它的反函数是 2. 它的反函数是,继续,对于一个逻辑表达式 F，如果将 F 中的 与“ ” 换成或“+”，或“+”换成与“ ” “1”换成“0”，“0”换成“1” 那么就得到一个新的逻辑表达式，这个新的表达式称为F 的对偶式FD。变换时要注意变量保持不变、原式的优先顺序保持不变。,(3) 对偶规则,例： F = A（B+C） 则对偶式 FD= A+B C F = （A+0）（B1）则对偶式 FD= A 1+（B+0）, 对偶规则： 两个逻辑式相等，则其对偶式也相等 若F = G，则其对偶式也相等：FD= GD,继续,利用对偶规则,可使要证明/记忆的公式减少一半,1.3,1.3 逻辑函数表示方法,一、逻辑函数,如果以逻辑变量作为输入，以运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的取值便随之而定。输出与输入之间的函数关系称为逻辑函数。Y=F(A,B,C,),二、逻辑函数表示方法,常用逻辑函数的表示方法有：逻辑真值表（真值表）、逻辑函数式（逻辑式或函数式）、逻辑图、波形图、卡诺图及硬件描述语言。 它们之间可以相互转换。,例：一举重裁判电路,设A、B、C为1表示开关闭合，0表示开关断开； Y为1表示灯亮，为0表示灯暗。得到函数表示形式：,真值表,函数式,逻辑图,波形图,真值表：将输入、输出的所有可能状态一一对应地列出。,一输入变量，二种组合,二输入变量，四种组合,三输入变量，八种组合,四输入变量，16种组合,注意：n个变量可以有2n个组合，一般按二进制从小到大的顺序，输出与输入状态一一对应，列出所有可能的状态。,解：3个输入变量，共有23=8种输入取值组合，分别代入表达式，进行求解，得到相应的输出函数值。,例: 列出函数 的真值表,提示：在列真值表时，应按照二进制递增的顺序排列，这样既不容易遗漏，也不容易重复。,继续,逻辑函数式,把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运算的组合式，即逻辑代数式，又称为逻辑函数式，通常采用“与或”的形式。,比如：,逻辑图：,把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来,各种表示方法之间的相互转换,1、真值表逻辑函数式,方法:将真值表中为1的项相加,写成 “与或式”。,2、逻辑式真值表,方法:将输入变量取值的所有组合状态逐一带入逻辑式求函数值,列成表即得真值表。,例,0,1,1,1,1,1,1,0,3、逻辑式逻辑图,方法:用图形符号代替逻辑式中的运算符号,就可以画出逻辑图.,例,4、逻辑图逻辑式,方法:从输入端到输出端逐级写出每个图形符号对应的逻辑式，即得到对应的逻辑函数式.,5、波形图真值表,0,1,1,0,0,1,0,1,最小项:,在n变量逻辑函数中，若m为包含n个变量(因子)的乘积项，而且这n个变量都以原变量或反变量的形式在m 中出现，且仅出现一次，则这个乘积项m称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。,3个变量A、B、C可组成 8(23)个最小项：,4个变量可组成 16(24)个最小项,记作m0m15。,1.3.2、逻辑函数的最小项,最小项的性质:,任意一最小项，只有一组变量取值使其为1,任意两个不同的最小项乘积必为0,全部最小项的和必为1,具有相邻性的两个最小项可以合并，并消去一对因子,例如:,将它们合并，可消去因子:,= BC,ABC 和 ABC 具有逻辑相邻性。,ABC+ABC =,(A+A) BC,问：消去的是哪个因子？,任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称为标准与或表达式，也称为最小项表达式。,逻辑函数的最小项表达式,对于不是最小项表达式的与或表达式， 可利用公式AA1 和A(B+C)ABAC 来配项展开成最小项表达式。,例,如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小项相加，便是函数的最小项表达式。,总结：,（2）从真值表求最小项之和,（1）从一般与-或表达式求最小项之和,方法：把为“1”的最小项“或”起来,方法：配项,1.4,最简与或表达式,与门的输入端个数少,1.4 逻辑函数的公式法化简,实现电路的与门少, 同一逻辑函数的两个不同表达式,所谓化简，一般指化为最简的与或表达式,化简逻辑函数的方法： 公式法 卡诺图法, 判断与或表达式是否最简的条件（何为最简？）：,见上页,继续,最简与或表达式,一、公式化简法,并项法：,吸收法：,A+AB =A,消项法：,消因子法：,配项法：,并项法,利用公式 ，将两项合并为一项，并消去