侯亚君版本《概率论与数理统计》1-3章习题解答.doc

1 习习 题题 一一 1写出下列随机试验的样本空间.S 一枚硬币掷两次,观察朝上一面的图案. 向蓝筐投球直到投中为止,记录投篮的总次数 公交车五分钟一辆,随机到车站候车,记录候车时间 解 ;样本空间为 ； 1 S 正正，正反，反正，反反 2 1,2,3,.S 样本空间为. 3 05Stt 2. 设表示三个事件,试用表示下列事件., ,A B C, ,A B C 与都发生,而不发生; ABC 至少有一个发生; , ,A B C 都发生; , ,A B C 都不发生; , ,A B C 不都发生; , ,A B C 至少有两个发生; , ,A B C 中最多有一个发生. , ,A B C 解 ;ABCABCABCABCABCABBCCA 或.ABBCCAABBCCA 3.设是三个事件,计算下列各题., ,A B C 若求发生,但不发生的概率.( )0.4, ( )0.25, ()0.25,P AP BP ABBA 若,求都不发生的概率. ()0.2, ( )0.6,P ABP B,A B 若,求发生,但不发生的概率. ()0.7, ( )0.3,P ABP BAB 若,求至( )( )( )0.25, ()()0, ()0.125P AP BP CP ABP BCP AC, ,A B C 少有一个发生的概率;都不发生的概率; 发生, 都不发生的概率. , ,A B CC,A B 2 若求至少发生一个的概率. 111 ( ), (|), (|), 432 P AP B AP A B,A B 若分别求事件的概率.()0.2, (|)0.5, (|)0.6,P ABP B AP B A,A B 解 发生,但不发生的概率：()( )()()0.15,P ABP AP ABP ABBA ; ()( )()0.1P BAP BP AB ()1( )()0.2P ABP BP AB ; ，发生,但不发生的概率：；()( )( )()P ABP AP BP ABAB()0.4P AB ，至少有一个发生的概率：()0()0P ABP ABC, ,A B C ； ()( )( )( )()()()()0.625P ABCP AP BP CP ABP BCP ACP ABC 都不发生的概率：；, ,A B C()1()0.375P ABCP ABC 发生, 都不发生的概率：C,A B ;()( )()( )()()()0.125P CABP CP ACBCP CP ACP BCP ABC ()1 (|)(), ( )12 P AB P B AP AB P A ()1 (|)( ), ( )6 P AB P A BP B P B 至少发生一个的概率：; ,A B 1 ()( )( )() 3 P ABP AP BP AB , ( )() (|)( )0.4, ( ) P AP AB P B AP A P A ( )() (|)( )0.56. 1( ) P BP AB P B AP B P A 4.从 0,1,2,9 这十个数字中任意选出三个不同的数字,试求下列事件的概率. 三个数字中不含 0 和 5; 三个数字中不含 0 或 5; 三个数字中含 0 但不含 5. 解 设事件分别表示三个数字中不含 0 和 5，则三个数字中不含 0 和 5 的概率：,A B 3 ； 3 8 3 10 7 () 15 C P AB C 三个数字中不含 0 或的概率：; 333 998 3 10 14 ()( )( )() 15 CCC P ABP AP BP AB C 三个数字中含 0 但不含 5 的概率：. 33 98 3 10 7 ()( )() 30 CC P ABP BP AB C 5.把 3 个球随机地放入 4 个杯子中,求有球最多的杯子中球数是 1,2,3 的概率各是多少. 解 设事件分别表示有球最多的杯子中球数是 1,2,3，则有球最多的杯子中球, ,A B C 数是 1 的概率是：；有球最多的杯子中球数是 3 的概率是： 3 4 3 3 ( ) 48 A P A ；有球最多的杯子中球数是 2 的概率是：. 3 41 ( ) 416 P C 9 ( )1( )( ) 16 P BP AP C 6.12 个球中有 4 个是白色,8 个是红色.现从这 12 个球中随机地取出两个,求下列事件的 概率. 取到两个白球; 取到两个红球; 取到一个白球, 一个红球. 解 取到两个白球的概率：； 2 4 2 12 1 ( ) 11 C P A C 取到两个红球的概率：； 2 8 2 12 14 ( ) 33 C P B C 取到一个白球, 一个红球的概率：。 11 48 2 12 16 ( ) 33 C C P C C 7.有 50 件产品,已知其中有 4 件次品,从中随机取 5 件,求（结果保留三位小数）: 恰有一件是次品的概率； 没有次品的概率； 至少有一件是次品的概率. 解 恰有一件是次品的概率：； 14 446 5 50 ( )0.308 C C P A C 4 没有次品的概率：； 5 46 5 50 ( )0.647 C P B C 至少有一件是次品的概率：。( )1( )0.353P BP B 8. 从 1,2,9 这九个数字中,有放回地取三次,每次取一个,试求下列事件的概率（结果保 留三位小数）. 三个数字全不同; 三个数字没有偶数; 三个数字中最大数字为 6; 三个数字形成一个严格单调数列; 三个数字之乘积能被 10 整除. 解 三个数字全不同的概率：; 3 9 3 ( )0.691 9 A P A 三个数字没有偶数的概率：; 3 3 5 ( )0.171 9 P B 三个数字中最大数字的概率：; 33 3 65 ( )0.125 9 P C 三个数字形成一个严格单调数列的概率：; 3 9 3 2 ()0.230 9 C P D 三个数字之乘积能被 10 整除的概率： 。 32 4 3 8(3! 4 3)(4 3) 1156 ( )10.214 9729 C P E 9.掷两颗骰子,已知两颗骰子点数之和为 7,求其中有一颗为 1 点的概率. 解 设事件分别表示两颗骰子点数之和为 7，两颗骰子中有一颗为 1 点，则所求概率：,A B 21 () 63 P B A 10. 个人排成一排, 已知甲排在乙的前面,求甲乙相邻的概率.n 解 设事件分别表示甲排在乙的前面，甲乙相邻，则所求概率：,A B 5 . ()(1!)/ !2 () ( )1/ 2 P ABnn P B A P An 11. 已知在 10 件产品中有 2 件是次品，在其中取两次，每次任取一件，作不放回抽样, 求下列事件的概率. 两件都是正品; 两件都是次品; 一件是正品,一件是次品; 第二次取出的是次品. 解 两件都是正品的概率：; 2 8 2 10 28 ( ) 45 C P A C 两件都是次品的概率：; 2 2 2 10 1 ( ) 45 C P B C 一件是正品,一件是次品的概率：; 11 28 2 10 16 ( ) 45 C C P C C 设事件分别表示第一，二次取出的是次品，由全概率公式， 12 ,A A . 2121121 8 22 11 ()() ()() () 10 910 95 P AP A P A AP A P A A 12.袋中有 5 个红球,4 个白球,从中取 3 次,每次取 1 个球. 如果作不放回抽样,求前 2 次取到红球,后 1 次取到白球的概率; 如果取到红球,将红球拿出,放回 2 个白球,否则不放回,求前 2 次取到红球,后 1 次取 到白球的概率. 解 设事件表示第 次取出红球，前 2 次取到红球,后 1 次取到白球的概,1,2,3 i A i i 率：； 123121312 5 4 410 ()() () ()0.1587 9 8 763 P A A AP A P A A P A A A 前 2 次取到红球,后 1 次取到白球的概率： 123121312 5 4 816 ()() () ()0.16 9101199 P A A AP A P A A P A A A 13. 8 支步枪中有 5 支已校准过,3 支未校准.一名射手用校准过的枪射击时,中靶的概 率为 0.8;用未校准的枪射击时, 中靶的概率为 0.3.现从 8 支步枪中任取一支,求击中靶子 的概率;若已知中靶了,求所使用的枪是校准过的概率. 解 设事件表示击中靶子，事件表示校准过步枪，则AB 6 ， ，()0.8, ()0.3P A BP A B 53 ( ), ( ) 88 P BP B ; . 5349 ( )0.80.3 8880 P A ( ) ()40 () ( )49 P B P A B P B A P A 14.现有 6 盒粉笔,其中的 3 盒,每盒有 3 只白粉笔,6 只红粉笔,记作第一类;另外 2 盒, 每盒有 3 只白粉笔,3 只红粉笔, 记作第二类;还有 1 盒,盒内有 3 只白粉笔,没有红粉笔,记 作第三类.现在从这 6 盒中任取 1 只粉笔,求取到红粉笔的概率;如果知道取到了红粉笔,求 红粉笔取自第一类的概率. 解 设事件表示取到红粉笔，事件表示在第 类取出的，则A,1,2,3 i B i i 123 63 (), (), (), 96 P A BP A BP A B ; . 3623101 ( ) 6966632 P A 1 2 () 3 P B A 15.若事件相互独立，证明：, ,A B C 与相互独立；CAB 与相互独立;CAB 与相互独立.ABC 证明：，与相互独( ()()( ) ( ) ( )( ) ()P C ABP CABP C P A P BP C P ABCAB 立； ( ()()()()()P C ABP CACBP ACP BCP ABC ，与相互独立;( )( )( )()( ) ()P CP AP BP ABP C P ABCAB ( ()()()()P A BCP ABCP ABP ABC()(1( )P ABP C ，与相互独立.( ) ( ) ( )( ) ()( ) ()P A P B P CP A P BCP A P BCABC 16 .若事件相互独立, 计算:,A B( )0.5, ()0.8,P AP AB ;()P AB .()P AB 解 ()( )( )( ) ( )( )0.6P ABP AP BP A P BP B 7 ; .()( ) ( )0.2P ABP A P B()1()1( ) ( )0.7P ABP ABP A P B 17.证明: 若事件的概率,则与任意事件独立;A( )0P A A 若事件的概率,则事件相互独立的充分必要条件是A0( )1P A,A B .(|)(|)P B AP B A 证明 设是任一事件，则，得，与B()0ABAP AB()( ) ( )P ABP A P BA 任意事件独立； 必要性：若事件相互独立，则，有,A B()( ) ( )P ABP A P B ，因此， () (|)( ) ( ) P AB P B AP B P A () (|)( ) ( ) P AB P B AP B P A (|)(|)P B AP B A 充分性：若，则，(|)(|)P B AP B A ()( )() ()( ) ( ) ( )1( ) P ABP BP AB P ABP A P B P AP A 因此，事件相互独立。,A B 18. 三个人独立地去破译一份密码,他们译出的概率分别为.问能译出此密码的 1 1 1 , 5 3 4 概率. 解设事件表示第 个人独立地破译了密码，则能译出此密码的概率：,1,2,3 i A i i 123123 ()1() () ()0.6P AAAP A P A P A 19.当危险情况发生时,自动报警器的电路即自动闭合而发出警报,我们可以用两个或多 个报警器并联,以增加可靠性.当危险情况发生时,这些并联中的任何一个报警器电路闭合,就 能发出警报,已知当危险情况发生时,每一警报器能闭合电路的概率为 0.96.试求: 如果两个警报器并联,则报警器的可靠性是多少? 若想使报警器的可靠性达到 0.999 9,则需要用多少个报警器并联? 解 设事件 表示第 个自动报警器能闭合电路,1,2, i A ini 两个警报器并联,则报警器的可靠性是：; 1212 ()1() ()0.9984P AAP A P A 8 . 11 ()1()1 0.040.99993 n n n ii ii PAP An 若想使报警器的可靠性达到 0.999 9,则至少需要 3 个报警器并联. 20.设甲盒子中装有 3 只蓝球,2 只绿球,2 只白球;乙盒子中装有 2 只蓝球,3 只绿球,4 只白 球.独立地分别在两只盒子中各取一只球. 求至少有一只蓝球的概率; 求有一只蓝球一只白球的概率; 已知至少有一只蓝球,求有一只蓝球一只白球的概率. 解 至少有一只蓝球的概率：； 323 25 ( ) 797 99 P A 有一只蓝球一只白球的概率：； 3 42 216 ( ) 7 97 963 P B 已知至少有一只蓝球,则有一只蓝球一只白球的概率：。 16 () 35 P B A 21.一大楼装有 5 台同类型的供水设备,调查表明在一小时内平均每个设备使用 6 分钟, 问在同一时刻， 恰有 2 台设备被使用的概率是多少? 至少有 2 台设备被使用的概率是多少? 解 恰有 2 台设备被使用的概率：； 223 55 19 (2)() ()0.0729 1010 PC 至少有 2 台设备被使用的概率：。 55 1 (0)(1)0.08146PP 习题二习题二 1将一枚硬币连抛三次，观察正、反面出现的情况，记为正面出现的次数,求X 的分布律.X 解 311 0( ), 28 P X ， 12 3 1 13 1( ) 2 28 P XC ， 22 3 113 2( ) 228 P XC 。 311 3( ) 28 P X 2.有 4 个小球和两个杯子,将小球随机地放入杯子中,随机变量表示有小球的杯子数,X 求的分布律.X 9 解 4 2 10.125, 2 P X 20.875,P X 3.一袋中装有 5 只球,编号为 1,2,3,4,5.在袋中同时取 3 只, 随机变量表示取出的 3 只X 球中的最大号码,求的分布律.X 解 3 5 1 30.1,P X C 2 5 3 5 40.3, C P X C 50.6.P X 4一球队要经过四轮比赛才能出线.设球队每轮被淘汰的概率为，记表示0.5p X 球队结束比赛时的比赛次数，求的分布律.X 解 10.5,P X 2 20.50.25,P X 3 30.5 ,P X 40.125.P X 5.进行重复独立试验,设每次试验成功的概率为,失败的概率为.1qp (1)将试验进行到出现一次成功为止,以表示所需的试验次数,求的分布律(此时称XX 服从参数为的几何分布).Xp (2)将试验进行到出现次成功为止,以表示所需的试验次数,求的分布律(此时称rYY 服从参数为的负二项分布分布或巴斯卡分布).Y, r p 解 (1) ； 1 ,1,2, k P Xkpqk (2) 1 1 ,1, rrk r k P YkCp qkr r 6.设离散型随机变量的分布律为X 2 ( ) ,1,2, 3 k P XkAk 求 A 的值及概率.13PX 解 ， 1 21 ( )1 32 k k AA 19 13123 27 PXP XP XP X 7.一大批电子元件有 10%已损坏,若从这批元件中随机选取 20 只来组成一个线路,问这 线路能正常工作的概率是多少？ 解 设随机变量表示线路中电子元件损坏的个数，则，线路能正常X(20,0.1)XB 工作的概率：。 20 0(0.9)0.12158P X 10 8某高速公路每周发生的汽车事故数服从参数为 3 泊松分布， (1)求每周事故数超过 4 个的概率； (2)求每周事故数不超过 3 个的概率. 解 设随机变量表示事故数，则，(1)每周事故数超过 4 个的概率：X(3)XP ， 4 1 410.1847 i P XP Xi (2)每周事故数不超过 3 个的概率：。 3 1 30.6472 i P XP Xi 9某城市在长度为 （单位：小时）的时间间隔内发生火灾的次数服从参数为tX 的泊松分布，且与时间间隔的起点无关，求下列事件的概率：0.5t （1）某天中午 12 时至下午 15 时发生火灾； （2）某天中午 12 时至下午 16 时至少发生两次火灾. 解 (1) ，中午 12 时至下午 15 时发生火灾的概率：(1.5)XP 1.5 11.50.334695;P Xe (2) ，中午 12 时至下午 16 时至少发生两次火灾的概率：(2)XP 2 21011 30.59399.P XP XP Xe 10一工厂有 20 台机器，每台机器在某日发生故障的概率是 005，每台机器是否发 生故障相互独立。 (1)用二项分布计算其中有 2 台机器发生故障的概率； (2)用泊松分布近似计算 2 台机器发生故障的概率。 解 设随机变量表示机器发生故障的个数，则，(1)有 2 台机器发X(20,0.05)XB 生故障的概率： 2218 20 2(0.05) (0.95)0.1887.P XC (2)用泊松分布近似计算 2 台机器发生故障的概率： 11 20.1839. 2 P Xe 11若一年中某类保险者里面每个人死亡的概率等于 0.005，现有 10000 个人参加这类人寿 保险，试求在未来一年中在这些保险者里面， 有 40 个人死亡的概率; 死亡人数不超过 70 个的概率. 11 解 设随机变量表示死亡人数，则，X(10000,0.005)XB （1）有 40 个人死亡的概率； 40409960 10000 40(0.005) (0.995)0.0214P XC （2）死亡人数不超过 70 个的概率。 70 10000 10000 0 70(0.005) (0.995)0.997 kkk k P XC 12. 设随机变量的分布律为X X0 2 4 k p 0.04 0.32 0.64 求随机变量的分布函数.X 解 0,0 0.04, 02 ( ) 0.36,23 1,3 x x F x x x 13. 设随机变量 的概率密度X ,( )f x 2 2 1,11 0, xx 其他 求 随机变量 的分布函数. X( )F x 解 。 22 1 0,10,1 211 ( )1, 111arcsin,11 2 1,11,1 x xx x F xx dxxxxx xx 14. 已知随机变量的概率密度X ( )f x ,01 0, c x x 其他 (1)确定常数c； (2)求分布函数 ；( )F x （3）求概率PX 0.5和PX=0.5. 解 (1); 1 0 11 1 2 cdxc x 12 (2) ; 0 0,0 0,0 1 ( ),01,01 2 1,1 1,1 x x x F xdxxxx x x x (3) PX 0.5，PX=0.5=0. 2 0.5(0.5) 2 P XF 15.设随机变量的概率密度X ,01 ( ),12 0, xx f xAxx 其他 （1）确定常数A； （2）求分布函数 ；( )F x （3）求概率.) 15 . 0( XP 解(1) ; 12 01 ()12xdxAx dxA (2) ; 2 0 12 01 0,0 0,0 , 01 , 01 2 ( ) (2),12 21,12 2 1,2 1,2 x x x x x x xdxx F x x xdxx dxx xx x x (3) . 3 (0.51)(1)(0.5) 8 PXFF 16.设连续型随机变量的分布函数为.求：XxBAxFarctan)( （1）常数 A，B； （2）随机变量的概率密度. X)(xf 解 (1)； 1 ()1 11 2 , ()02 0 2 AB F AB F AB (2) . 2 111 ( )( )(arctan ) 2 (1) f xF xx x 17.设随机变量X 在 2，5 上服从均匀分布， 现对X 进行三次独立观测，试求至少有 13 两次观测值大于3 的概率. 解 随机变量X 在 2，5 上服从均匀分布，； 2 3 3 P X 设随机变量表示三次独立观测中观测值大于3的次数，则Y 2 (3, ) 3 YB 至少有两次观测值大于3 的概率：。 223 3 21220 2( )( ) 33327 P YC 18.设某类日光灯管的使用寿命X (小时) 服从参数为1/2000的指数分布， (1) 任取一只这种灯管，求能正常使用1000 小时以上的概率； (2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小时以上，求还能使用1000 小时以上的概 率. 解（1）； 11 20002 1000 1 10000.607 2000 x P Xedxe （2） 11 2 1 2 2000 200010000.607 1000 P Xe P XXe P X e （这是指数分布的重要性质：“无记忆性”）. 19从某地乘车往火车站有两条路线可走,第一条路线穿过市区,路程较短,但交通拥挤,所 需时间；第二条路线走环线,路程较远,但意外阻塞少,所需时间X(50,100)NY .(60,16)N 若有 70 分钟时间可用,问应走哪条路线? 若只有 65 分钟时间可用,问又应走哪条路线？ 解 ， 7050 (70)()(2)0.9772 10 P X ， 7060 (70)()(2.5)0.9938 4 P Y 若有 70 分钟时间可用,走线路一赶到的概率是 0.9772, 走线路二赶到的概率是 0.9938,应 走第二条路线. ， 6550 (65)()(1.5)0.9332 10 P X ， 6560 (65)()(1.25)0.8944 4 P Y 若只有 65 分钟时间可用, 走线路一赶到的概率是 0.9332, 走线路二赶到的概率是 0.8944, 应走第一条路线. 14 20. 设，求的概率密度.1,2XU 2x Ye y fy 解 ； 22411 ln , 22 xdx yexyeye dyy 1,12 0, X x fx 其他 241 , 2 0, y eye yfy 其他 21. 设随机变量的概率密度X 其它,0 10),1(6 )( xxx xfX 求随机变量的概率密度.12XY)(yfY 解 ； 11 21,13 22 ydx yxxy dy 11 13 6(1),13(1)(3),13 2224 0,0, y yy yyyy fy 其他其他 22. 设随机变量的概率密度X ,0 ( ) 0,0 x X ex fx x （1）求随机变量的概率密度； X Ye( ) Y fy (2）求概率.(12)PY 解 （1）； 1 ln ,1 x dx yexyy dyy ； ln 2 11 ( ),1 y Y fyey yy （2） . 2 2 1 1 (12)0.5PYdy y 23. 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且服从同一分布，X 的分布律为 PX = 0 = P X = 1 )= 1/2，求：Z = max X, Y 的分布律. 解 15 0, 00,00.25P ZP max X YP XY 75 . 0 25 . 0 10 ),max(YXZ 习题三习题三 1. 设随机变量在 1，2，3，4 四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量在XY 1X 中等可能取一整数值。试求的分布律.),(YX 解 的分布律：),(YX X Y 12 3 4 11/41/8 1/12 1/16 201/8 1/12 1/16 300 1/12 1/16 400 01/16 2. 若甲袋中有 3 个黑球 2 个白球，乙袋中有 2 个黑球 8 个白球。现抛掷一枚均匀硬币， 若出现正面则从甲袋中任取一球，若出现反面则从乙袋中任取一球，设 0,0, 11 XY 反面向上取到白球 正面向上取到黑球 ， ， 求:（1）的联合分布律；(, )X Y （2）判断与是否独立.XY 解 （1），联合分布律： 1 84 (0,0)(0) (00) 21010 P XYP XP YX(, )X Y X Y 0 1 04/102/10 11/103/10 （2），与不独立. 4 (0,0) 10 P XY 1 33 (0) (0) 2 510 P XP YXY 3. 将一枚均匀硬币抛掷三次，以表示在 3 次中出现正面的次数，以表示在 3 次中XY 出现正面的次数与出现反面次数之差的绝对值. 求:（1）的联合分布律； (, )X Y （2）判断与是否独立.XY 16 解 ，的取值有 1 和 3. (3)23YXXXY ，(0,0)(0,12)0P XYP XXX ， 1 (0,3)(0,03)(0) 8 P XYP XXXP X 的联合分布律：(, )X Y X Y 0123 103/83/80 31/8001/8 （2），与不独立。(0,1)0P XY 1 33 (0) (1) 8 432 P XP YXY 4. 设二维随机变量的分布函数为),(YX ( , )(arctan )(arctan )F x yA Bx Cy 求:（1）常数、；ABC （2）的概率密度;),(YX),(yxf (3)边缘分布函数.( ),( ) XY Fx Fy 解 (1) ，, (,)()()1 22 (0,)()0 2 (,0)()0 2 FA BC FAB C FA BC 2 1/A/ 2BC (2) ，, 2 ( , ) ( , ) F x y f x y x y 222 1 ( , ) (1)(1) f x y xy (3) . 1 ( )( ,)(arctan ), 2 X FxF xx ( )(, ) Y FyFy 1 (arctan ) 2 y 5. 设二维随机变量的联合概率密度为YX, (6),02,24 0, kxyxy f x 其他 求:(1)常数;k (2)概率;1,3P XY 17 (3) 概率.4P XY 解 (1) , 24 02 (6)1kdxxy dy 1 8 k (2) 3/8, 13 02 13 1,3(6) 88 P XYdxxy dy (3) . 24 02 12 4(6) 83 x P XYdxxy dy 6. 设二维随机变量的联合概率密度YX, . 其它, 0 0, 0, ),( )( yxe yxf yx 求：（1）随机变量和的边缘概率密度和；XY)(xfX)(yfY （2）概率.)(YXP 解 (1) , () 0 ,0 ,0 0,0 0,0 x y x X edy x ex fx x x , () 0 ,0 ,0 0,0 0,0 x y y Y edx y ey fy y y (2) () 0 ()0.5 x y x P XYdxedy 7.设二维随机变量的联合概率密度YX, 其它, 0 0, 0,6 ),( )32( yxe yxf yx 求:（1）随机变量和的边缘概率密度，；XY)(xfX)(yfY （2）随机变量与独立是否独立？ XY 解（1）， (23 )2 0 6,020 ( ) 0,0 0,0 xyx X edy xe fx x x ， (23 )3 0 6,03,0 ( ) 0,0 0,0 xyy Y edx yey fy y y （2），与独立。( , )( )( ) XY f x yfx fyXY 8. 设随机变量的联合概率密度函数为 YX, 18 . 其他, 0 0 , ),( yxe yxf y 求:(1)边缘密度函数;）（），（yfxf YX (2)概率;）（1YXP (3) 是否独立?YX, 解 (1) , ,0 ,0 0,0 0,0 y x x X e dy x ex fx x x 0 ,0 ,0 0,0 0,0 y y y Y e dx y yey fy y y (2) =, 1 1 2 0 1 x y x P XYdxe dy （）= 11/2 12ee (3) ，不独立.( , )( )( ) XY f x yfx fyYX, 9. 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头停泊，它们在一昼夜内到达的 时刻是等可能的。如果甲船的停泊时间是一小时，乙船的停泊时间是两小时，求它们中的 任何一艘都不需要等候码头空出的概率（结果保留使三位小数 ）. 解 设甲船到达的时刻是，乙船到达的时刻是，则独立同分布均匀分布，XYYX,(0,24)U 任何一艘都不需要等候码头空出： ，D1,2XYYX 任何一艘都不需要等候码头空出的概率： 。 22 22 11 2223 1 22 (, )0.879 2424 D PX YDdxdy 10. 一负责人到达办公室的时间均匀分布在 812 时，他的秘书到达办公室的时间均匀 分布在 79 时，设他们两人到达的时间相互独立。求他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟的概率. 解 设负责人到达办公室的时间是，秘书到达办公室的时间是，则独立，XYYX, ，他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟：(8,12),(7,9)XUYUD 1 12 XY 他们到达办公室的时间相差不超过 5 分钟的概率： 19 。 11 11 124 248 D PXYdxdy 11. 设随机变量，随机变量的概率密度为X2 . 0 , 0UY 0, 0 0,5 )( 5 y ye yf y Y 且与相互独立.求：XY （1）的联合概率密度；),(YX