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1,第五章 解线性方程组的直接方法,计算方法, 矩阵三角分解法,2,本讲内容,一般线性方程组 LU 分解与 PLU 分解,对称正定线性方程组 平方根法Cholesky 分解,对角占优三对角线性方程组 追赶法,3,LU 分解,矩阵的 LU(Doolittle) 分解,矩阵的 LDR 分解,克洛脱 (Crout) 分解,4,计算 LU 分解,利用矩阵乘法直接计算 LU 分解,L U = A,比较等式两边的第一行得：,u1j = a1j,比较等式两边的第一列得：,比较等式两边的第二行得：,比较等式两边的第二列得：,( j = 1, n ),( i = 2, n ),( j = 2, n ),( i = 3, n ),5,计算 LU 分解,第 k 步：此时 U 的前 k-1 行和 L 的前 k-1 列已经求出,直到第 n 步，便可求出矩阵 L 和 U 的所有元素。,6,LU 分解算法,算法 ：(LU 分解 ),Matlab程序参见：ex51.m,乘除法运算量：(n3 - n)/3,为了节省存储空间，通常用 A 的绝对下三角部分来存放 L (对角线元素无需存储)，用 A 的上三角部分来存放 U,7,PLU 分解,矩阵的 PLU 分解,Matlab程序：上机练习,8,Cholesky 分解,对称正定矩阵的三角分解Cholesky 分解,定理：设 A 是对称矩阵，若 A 的所有顺序主子式都不为 0，则 A 可唯一分解为 其中 L 为单位下三角阵，D 为对角矩阵,A = LDLT,定理：（Cholesky分解）若 A 对称正定，则 A 可唯一分解为 其中 L 为下三角实矩阵，且对角元素都大于 0,A = LLT,9,计算 Cholesky 分解,Cholesky 分解的计算,直接比较等式两边的元素,计算公式,10,Cholesky 分解算法,算法 ：(Cholesky 分解 ),11,平方根法,A 对称正定,算法 ：(解对称正定线性方程组的平方根法 ),12,改进的 Cholesky 分解,计算公式,改进的 Cholesky 分解,13,改进的 Cholesky 分解,for j = 1 to n end,i = j +1, , n,算法 ：(改进的 Cholesky 分解 ),优点：避免开方运算,14,改进的平方根法,A 对称正定,算法 ：(解对称正定线性方程组的改进的平方根法 ),15,追赶法,对角占优的三对角矩阵的 LU 分解,计算公式,i =
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