高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1椭圆课后提升作业（九）2.1.1椭圆及其标准方程检测（含解析）.docx

课后提升作业 九椭圆及其标准方程(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.设F1,F2为定点,|F1F2|=6,动点M满足|MF1|+|MF2|=6,则动点M的轨迹是()A.椭圆B.直线C.圆D.线段【解析】选D.因为|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|,所以动点M的轨迹是线段.2.设椭圆的标准方程为+=1,若其焦点在x轴上,则k的取值范围是()A.k3B.3k5C.4k5D.3k5-k0,所以4k0)的左焦点为F1(-4,0),则m=()A.2B.3C.4D.9【解析】选B.因为椭圆+=1(m0)的左焦点为F1(-4,0),所以c=4=,所以m2=9,所以m=3.4.若椭圆+=1的焦距为6,则m的值为()A.7B.7或25C.25D.或5【解析】选B.设a2=16,b2=m,所以c2=16-m,所以16-m=9,所以m=7;设a2=m,b2=16,则c2=m-16,所以m-16=9,所以m=25.【误区警示】忽视焦点位置,导致丟解椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程中x2和y2项分母的大小,如果x2项的分母大于y2项的分母,则椭圆的焦点在x轴上;反之,焦点在y轴上.由于本题中x2和y2项分母的大小不确定,因此需要进行分类讨论.5.(2016成都高二检测)如果椭圆的两个焦点为F1(-1,0)和F2(1,0),P是椭圆上的一点,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,那么椭圆的方程是()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1【解析】选C.因为|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差数列,所以|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,即a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,因为焦点在x轴上,故选C.6.已知椭圆+=1的两个焦点F1,F2,M是椭圆上一点,且|MF1|-|MF2|=1,则MF1F2是()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形【解题指南】利用条件和椭圆的定义解出|MF1|,|MF2|的长度,再判断.【解析】选B.由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a=4,且已知|MF1|-|MF2|=1,所以|MF1|=,|MF2|=.又|F1F2|=2c=2.所以有|MF1|2=|MF2|2+|F1F2|2.因此MF2F1=90,即MF1F2为直角三角形.7.(2016合肥高二检测)设F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|PF2|=21,则F1PF2的面积等于()A.5B.4C.3D.1【解析】选B.由椭圆方程,得a=3,b=2,c=,所以|PF1|+|PF2|=2a=6,又|PF1|PF2|=21,所以|PF1|=4,|PF2|=2,由22+42=(2)2,可知,F1PF2是直角三角形,故F1PF2的面积为|PF1|PF2|=42=4.【补偿训练】椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上.若|PF1|=4,则|PF2|=_;F1PF2的大小为_.【解析】由椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=6,所以|PF2|=2,cosF1PF2=-.所以F1PF2=120.答案:21208.已知椭圆+y2=1的焦点为F1,F2,点M在该椭圆上,且=0,则点M到x轴的距离为()A.B.C.D.【解析】选C.由=0,得MF1MF2,可设=m,=n,在F1MF2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根据椭圆的定义有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,所以mn=2b2,即mn=2,所以=mn=1.设点M到x轴的距离为h,则:|F1F2|h=1,又|F1F2|=2,所以h=.【延伸探究】将本题中的椭圆方程改为+=1,其他条件不变,如何解答?【解析】设M到F1,F2的距离分别为r1,r2,则r1+r2=10.又+=(2c)2=64,所以(r1+r2)2-2r1r2=64即r1r2=18.令M到x轴的距离为h,所以r1r2=2ch,解得h=.【拓展延伸】揭秘焦点三角形椭圆中的焦点三角形问题由于涉及知识面广,探究性强,综合性高,成为椭圆和解三角形、三角函数以及不等式等知识交汇的命题点,是命题的“焦点”.在解决与椭圆有关的焦点三角形问题中,常用到以下结论:设F1,F2为椭圆焦点,M为椭圆上的点.(1)|MF1|+|MF2|=2a.(2)|MF1|MF2|=a2.(3)|MF1|MF2|=2a2-.(4)=b2tan(其中F1MF2=).二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2016昆明高二检测)已知椭圆的焦点在y轴上,其上任意一点到两焦点的距离和为8,焦距为2,则此椭圆的标准方程为_.【解析】由已知,2a=8,2c=2,所以a=4,c=,所以b2=a2-c2=16-15=1,所以椭圆的标准方程为+x2=1.答案:+x2=110.(2016衡水高二检测)已知P是椭圆+=1上的一动点,F1,F2是椭圆的左、右焦点,延长F1P到Q,使得|PQ|=|PF2|,那么动点Q的轨迹方程是_.【解析】依题意,|PF1|+|PF2|=2a(a是常数且a0).又|PQ|=|PF2|,所以|PF1|+|PQ|=2a,即|QF1|=2a.由题意知,a=2,b=,c=1.所以|QF1|=4,F1(-1,0),所以动点Q的轨迹是以F1为圆心,4为半径的圆,所以动点Q的轨迹方程是(x+1)2+y2=16.答案:(x+1)2+y2=16三、解答题11.(10分)(2016绵阳高二检测)求满足下列条件的椭圆的标准方程:(1)焦点在y轴上,焦距是4,且经过点M(3,2).(2)ca=513,且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.【解析】(1)由焦距是4可得c=2,且焦点坐标为(0,-2),(0,2).由椭圆的定义知,2a=+=8,所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.又焦点在y轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.(2)由题意知,2a=26,即a=13,又ca=513,所以c=5,所以b2=a2-c2=132-52=144,因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.【补偿训练】1.已知椭圆的焦点在x轴上,且焦距为4,P为椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项.(1)求椭圆的方程.(2)若PF1F2的面积为2,求P点坐标.【解析】(1)由题意知,2c=4,c=2.且|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=8,即2a=8,所以a=4.所以b2=a2-c2=16-4=12.又椭圆的焦点在x轴上,所以椭圆的方程为+=1.(2)设P点坐标为(x0,y0),依题意知,|F1F2|y0|=2,所以|y0|=,y0=,代入椭圆方程得+=1,得x0=2,所以P点坐标为(2,)或(2,-)或(-2,)或(-2,-).2.F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且AF1F2=45,求AF1F2的面积.【解析】|F1F2|=2,|AF1|+|AF2|=6,|AF2|=6-|AF1|,|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|F1F2|cos45=|AF1|2-4|AF1|+8,(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8,|AF1|=,S=2=.【能力挑战题】如图,ABC中底边BC=12,其他两边AB和AC上中线的和为30,求此三角形重心G的轨迹方程,并求顶点A的轨迹方程.【解析】以BC边所在直线为x轴,BC边中点为原点,建立如图所示坐标系,则B(6,0),C(-6,0),CE,BD为AB,AC边上的中线,则|BD|+|CE|=30.由重心性质可知|GB|+|GC|=(|BD|+|CE|)=20.因为B,C是两个定点,G点到B,C距离和等于定值20,且201