北邮概率统计课件3.1二维随机变量.ppt

2019/7/16,北邮概率统计课件,第三章知识结构图,多维随机变量,联合 分布律,联合分布函数,函数的 分布,联合概率密度,二维离散型 随机变量,联合分布函数,函数的 分布,二维连续型 随机变量,定义,常用分布,定义,常用分布,2019/7/16,北邮概率统计课件,第三章 多维随机变量及其分布,1.一维随机变量和分布 函数的概念,2.一维离散型随机变量 及其分布律,4. 随机变量函数的分布,本章将给出二维随机变量、联合分布率、联合概率密度和二维联合分布函数的概念,3.一维连续型随机变量 及其 概率密度,2019/7/16,北邮概率统计课件,一. 二维随机变量及分布函数的概念,1. 定义,设 是随机试验 E 的样本空间,是定义在 S上的随机变量,由它们构成的向量,称为二维随机变量,或二维随机向量.,均要求定义在同一个样本空间S上.,第一节 二维随 机 变 量,注：,2019/7/16,北邮概率统计课件,的几何解释:,或:,e,给出,平面上的一个随机点(随机向量),2019/7/16,北邮概率统计课件,定义2,(二维随机变量的分布函数),称为二维随机变量 ( X, Y ) 的分布函数或称为,( X, Y ) 的联合分布函数.,注:,随机变量，对于任意的实数 二元函数,设 是二维,的联合分布函数的几何意义:,2019/7/16,北邮概率统计课件,则 在 处的函数值 随机点,落在以 为定点而位于该点左下方的无穷 矩形内的概率.,2019/7/16,北邮概率统计课件,的概率为:,如图:,2019/7/16,北邮概率统计课件,2. 二维随机变量分布函数 F(x,y) 的性质,性质1,F(x,y) 分别对 x 和 y 单调非减, 即:,对固定的y, X是非减的,对固定的x, y是非减的,性质2,F(x,y)对每个自变量x 或 y是右连续的，即:,2019/7/16,北邮概率统计课件,性质3,随机点落在这三种情形所示的矩形内是不可能事件，故概率趋向于零,随机点落在这种情况所示的矩形内是必然事件，故概率趋于1,性质4,2019/7/16,北邮概率统计课件,说明：,不等式左边恰好是（X,Y）落在矩形ABCD内的概率，而概率具有非负性，故得此不等式。,小注：,性质1性质3同一维随机变量分布函数的性 质。性质4不同于一维随机变量的分布函数。,若性质1性质3均满足，但性质4不满足，则 不称之为联合分布函数。,2019/7/16,北邮概率统计课件,现找 4 个点如下：,这说明 F(x,y) 不是二维随机变量的分布函数，仅仅是一个二元函数,比如：,对这分布函数来验证第4条性质。,即第4条性质不满足,2019/7/16,北邮概率统计课件,二. 二维离散型随机变量及其分布,1. 二维离散型随机变量的定义,2. 二维离散型随机变量的分布律,为二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布或分布律， 或称为联合分布律.,则：其相应的概率,2019/7/16,北邮概率统计课件,注:,同一维随机变量(离散型)类似，一般可用,下列表格形式表示：,2019/7/16,北邮概率统计课件,例1.,求: (X,Y) 的分布律,2019/7/16,北邮概率统计课件,1,5,7,11,13,17,19这7个数不能被2,3整除,3,9,15,21这4个数不能被2,能被3整除,2,4,8,10,14,16,20这7个数不能被3整除,但能被2整除,6,12,18这3个数能被2整除,又能被3整除,不难易证:,由题意可 知：X取值为0, 1 ； Y的取值为 0, 1,解:,2019/7/16,北邮概率统计课件,故得： (X,Y) 的联合分布律为:,同一品种的五个产品中，有两个正品。每次从中取一个 检验质量，不放回地抽样，连续两次。若记 表示第 k 次取到正品；,表示第 k 次取到次品,求: 的联合分布律.,例2.,( k =1, 2 ),2019/7/16,北邮概率统计课件,由题意 的取值为：0, 1 ； 的取值为：0, 1,解:,显然所求概率满足联合分布律的两条性质.,2019/7/16,北邮概率统计课件,故 的联合分布律为:,3. 二维离散型随机变量的分布函数,(其中“和式”是对一切满足 ),2019/7/16,北邮概率统计课件,三. 二维连续型随机变量及其分布,1. 二维连续型随机变量的定义,2. 二维连续型随机变量的(联合)概率密度与分布函数,(1) 定义,如果随机变量 (X, Y) 的取值 不能一 一列出，而是连续的, 则称 (X,Y) 为连续型随机变量.,若存在非负的二元函数 对任意的 有：,则称 (X,Y) 是连续型的二维随机变量， 为(X,Y) 的联合概率密度； 为 (X,Y) 的联合分布函数.,2019/7/16,北邮概率统计课件,(2) f (x,y) 的性质,性质1,性质2,性质3,若 f (x,y) 在点 (x, y) 处连续，则：,性质4,设 G 是 XOY 平面上的一个区域，则点(x, y)落在G内的概率为:,非负性,规范性,分布函数与概率密度的关系,求区域 上的概率,2019/7/16,北邮概率统计课件,注:,一维连续型随机变量的几种常用分布可推广 到二维及多维随机变量,则称 (X,Y) 服从,均匀分布,2019/7/16,北邮概率统计课件,则称 (X,Y) 服从参数为 的,则称 ( X,Y )服从 的,指数分布.,正态分布.,2019/7/16,北邮概率统计课件,例3.,设,求: (1) 分布函数,落在G内的概率 其中 G: x+y=1及 x 轴、y轴所围区域,解:,2019/7/16,北邮概率统计课件,从而得分布函数为：,2019/7/16,北邮概率统计课件,(2) 画出G域图：,G:,以上讨论的关于离散型或连续型随机变量均可推广 到n 维(n 2)随机变量,从而得：,2019/7/16,