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1、基本概念,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、一阶线性微分方程,例如,线性的;,非线性的.,形如,齐次方程的通解为,2、一阶齐次线性微分方程的解法,(使用分离变量法),(C为任意常数),3. 线性非齐次方程解法,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质: 未知函数的变量代换.,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,一阶非齐次线性微分方程的求解步骤:,Step1:首先求对应的齐次线性微分方程的通解,Step2:利用常数变易法将齐次线性微分方程解中 的c变成c(x),即:,代入原方程得,即得到非齐次线性方程的通解为:,解,例1,解,例2,若将y看成函数,x作为变量,则方程不是一阶线性方程;所以将x看成函数,y作为变量,则原方程化为:,然后令,解,例3,练习:,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,二、贝努利方程(可化为一阶线性方程的方程),求出通解后,将 代入即得,代入上式,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,解,例 4,又,所以,为原方程的通解。,例5 用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,分离变量法
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