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1,第四节 一阶线性微分方程,一、线性微分方程 二、伯努利方程 三、小结,2,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,3,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),4,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,5,解法1:公式法,例1,6,解法二：常数变易法,原方程所对应的齐次微分方程为：,分离变量得,故其通解为,代入所给的非齐次方程，得,例1,7,两边积分得,故所求非齐次微分方程的通解为,8,例2. 求方程,的通解 .,解: 注意 x, y 同号,由一阶线性方程通解公式 , 得,故方程可,变形为,所求通解为,9,伯努利方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,二、伯努利(Bernoulli)方程,解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.,10,求出通解后，将 代入即得,代入上式,11,解,例 3,伯努利方程.,12,例4 用适当的变量代换解微分方程:,解,所求通解为,13,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,14,例 求微分方程 的通解.,注意:,y=y( x ) x=x( y ) ,F( y , y , x )=0 G ( x , x , y ) =0,解,15,注意:,y=y( x ) x=x( y ) ,F( y , y , x )=0 G ( x , x , y ) =0,练习:,16,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离 变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,17,三、小结,1.齐次方程,2.线性非齐次方程,3.伯努利方程,作业:P282:1-(3) (7)(9), 2-(2)(4), 6, 7-(3),18,( 雅各布第一 伯努利 ),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(1654 1705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐
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