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2001年量子力学考研试题 一. （见2003第2题）设氢原子处于 的状态上，求其能量、角动量平方及角动量分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。解：选为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为 其中，量子数的取值范围是 利用归一化条件求出归一化常数为 主量子数的可能取值只有两个，即，于是 角动量量子数的可能取值只有一个，即，故有 角动量磁量子数的可能取值有两个，即，于是 二. 作一维运动的粒子，当哈密顿算符为时，能级是，如果哈密顿算符变成（为实参数），求变化后的能级。解：视为参变量，则有 利用费曼-海尔曼定理可知 又知 在任何束缚态下，均有 所以， 进而得到能量本征值满足的微分方程对上式作积分，得到利用时，定出积分常数最后，得到的本征值为三. 质量为的粒子处于如下的一维位势中 其中， 且 ，, 求其负的能量本征值。解：当时，两个区域的波函数分别为其中，在处，波函数的连接条件为此即能量本征值满足的方程为 对上式两端取平方，得到 再对上式两端取平方，并整理之四.（见习题选讲7.2）已知在与的共同表象中，算符的矩阵形式为求的本征值和归一化的本征矢。解：满足的本征方程为相应的久期方程为将其化为得到三个本征值分别为将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为 五. （类似习题选讲9.4）两个线谐振子，它们的质量皆为，角频率皆为，加上微扰项（分别为两个谐振子的坐标）后，求体系基态能量二级修正、第二激发态能量至一级修正。 解：体系的哈密顿算符为其中，已知的解为其中，将前三个能量与波函数具体写出来，对于基态而言，体系无简并。利用公式可知显然，求和号中不为零的矩阵元只有
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