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1997年量子力学考研试题一. 氢原子在时刻处于状态 式中，为氢原子的第个本征态。（1） 计算；（2） 计算时能量的取值几率与平均值；（3） 写出任意时刻的波函数。解：（1）利用归一化条件 可知 于是，归一化后的展开系数为 ； ； （2）氢原子的能量本征值为 依题意知，能量的可能取值与相应的取值几率为 而能量的平均值为 （3） 任意时刻的波函数为 二 证明：（1） 若一个算符与角动量算符的两个分量对易，则其必与的另一个分量对易； （2） 在与的共同本征态下，与的平均值为零，且当时，测量与的不确定性之积为最小。 证明：（1） 设算符与角动量算符及皆对易，即 则 同理可知，若算符与角动量算符及皆对易，则算符必与对易；若算符与角动量算符及皆对易，则算符必与对易，于是，问题得证。 （2）在与的共同本征态下，的平均值为 由升降算符的性质可知 于是有 同理可证，算符在下的平均值也为零。在态上， 同理可得 故有 或者写为 显然，当时，上式取最小值 三 . （见2003年第3题）有一质量为的粒子，在如下势场中运动 试求出束缚能级所满足的方程。解：当时，四个区域的波函数分别为 式中， ； 由处波函数连续可知，由处波函数连续可知 再利用处波函数及其一阶导数连续的条件 求出 此即时能量本征值满足的超越方程。当时，四个区域的波函数分别为 式中， ； 由处波函数连续条件可知， 或者 再利用处波函数及其一阶导数连续的条件 利用与的关系式，将上两式改写为 最后，得到时能量满足的超越方程 四 . 由两个自旋为的粒子构成的体系，若两个粒子的自旋态分别处于 ； 的态上，求体系分别处单态与三重态度几率。解：依题意可知，两个粒子构成的体系处于状态 两个自旋为粒子的总自旋量子数，其单态为 故体系处于单态度几率为 而三重态为 体系处于三重态的几率为 两者几率之和 五 . 一个质量为、角频率微的线谐振子，受到微扰的作用，（1） 用微扰论求能量的一级修正；（2） 求能量的严格解，并与（1）的结果比较。解：（1） 无微扰线谐振子的哈密顿算符满足 其中， 能量的一级修正为 利用公式 得到能量的一级修正为 能量近似到一级修正的结果为 （2） 为了求得严格解，改写体系的哈密顿算符
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