杨辉三角与布莱尼兹三角.ppt

,杨辉三角与布莱尼兹三角,授课教师：符日仕 授课班级：08电子技术与应用,杨辉：,杭州钱塘人，南宋末年数学家、数学教育家。他著作甚多，由他编著的数学 书共五种二十一卷，分别是详解九章算法十二卷（1261年）、日用算法 二卷、乘除通变本末三卷、田亩比类乘除算法二卷、续古摘奇算法 二卷。其中后三种合称为杨辉算法，朝鲜、日本等国均有译本出版，后流传 世界。,“杨辉三角”出现在杨辉编著的详解九章算法一书中，此书还说明表内除 “1”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于释锁算 书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明国发现在 这个表不晚于11世纪。,二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角（表1）,例如 ： ，它的两项的系数是1和1； ，它的三项系数依次是1、2、1； ，它的四项系数依次1、3、3、1。,什么是杨辉三角？,规律：,（1）杨辉三角的第2K-1行（K是正整数）的各数字之除了两端为1，其余都是偶数。,（2）行数为素数（质数）时，如第2，3，7，11等行，除了两端的1外，行数 可以整除其余各数。,（3）计算一下杨辉三角中各行数数学之和,第2行 1+1=21 第3行 1+2+1=4=22 第4行 1+3+3+1=8=23 第5行 1+4+6+4+1=16=24 第6行 1+5+10+10+5+1=32=25 。 。 第n+1行 Cn0+Cn1+Cn2+Cnr+ Cnn-1+ Cnn=2n,第n+1行 数字的和为2n，前n行所有数的和为2n-1, 它恰好比第n+1的和小2 n小1。,（4）从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩出发，向右（左）上方作 一条和左（右）斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数。 例如：101234， 2013610，,（第4条斜线）,根据这一性质，猜想下列数列的前n项和：,111 1（第1条斜线）,123 ,（第2条斜线）,136 ,（第3条斜线）,1410 ,（第r+1条斜线）,于是有一般性结论： 一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）前n个数字的和，等于第 条 斜线上的第 个数,1，1，2，3，5，8，13，21，34，此数列an满足, a1=1, a2=1, 且 an = an-1 + an-2 (n3),（5）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？,这就是著名的斐波那契数列（斐波那契，中世纪意大利数学家，传世之作算术之法）,？问题：,杨辉三角与“堆垛术”（三角垛，正方垛， ）我国古代数学的伟大成就堆垛术,2、将圆弹堆成三角垛：底层是每边n的三角形，向上逐层每边少一个圆弹，顶层是一个圆弹，求总数：,1、计算11的1、2、3、次幂，看一看与杨辉三角有 什么有趣的联系？,观察杨辉三角所蕴含的数量关系（表2）,（1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是, （2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加， 也就是, （3）杨辉三角具有对称性（对称美），即, （4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开式的二项式系数，即,杨辉三角基本性质：,介绍杨辉三角蕴含的基本规律 ：,德国数学家莱布尼兹在研究中发现了下面的单位分数三角形，其特点是单位分数是分子为1，分母为正整数的分数。由于这个三角形最早是由莱布尼兹作出，所以叫做莱布尼兹单位分数三角形，或简称为莱布尼兹三角形。,根据前五行的规律，可以知道第六行的第三个数是,（ 1/60 ）,在观察中进行角度的转换，打破常规，从下到上。杨辉三角中，一肩扛两数，是从上到下习惯观察顺序，上行两数的和与下行中间正对数相等；莱布三角形中，一脚踏两数，是自下而上的观察顺序，下行两数的和与上行中间正对数相等.,布莱尼兹三角与杨辉三角有着相似的性质：,（1）第n+1条线上所有数之和等于1/n。即，某些由单位分数组成的 无穷级数可以由布莱尼兹三角求得。,如：1/2 = 1/3 + 1/12 + 1/30 + 1/4 = 1/5 + 1/30 + 1/105 + ,（2）布莱尼兹三角中每一个数等于其脚下两个数之和。,如：1/2 = 1/3 + 1/6 X 1/6 = 1/12 + 1/12 X 1/12 = 1/20 + 1/30,科学的发现离不开仔细的观察，数