河南省郑州市2019届高三数学第二次质量检测试题文（含解析）.docx

2019年郑州市高中毕业年级第二次质量预测文科数学试题卷第卷（选择题 共60分）一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的，本大题共12小题，每小题5分，共60分1.已知全集，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由全集UR，求出B的补集，找出A与B补集的公共部分，即可确定出所求的集合【详解】又由全集UR，y|y0 ，则A（UB）x|0 =故选：B【点睛】本题考查了交、补集的混合运算，求出集合B的补集是关键，属于基础题2.已知是虚数单位，复数满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的定义与运算性质，求出z的值【详解】，则2z=i(1-z)，设z=a+bi，代入2z=i(1-z)中，有2a+2bi=i(1-a-bi)=i-ai+b=b+(1-a)i，2a=b且2b=1-a，解得a=，b=zi则，故选：C【点睛】本题考查了复数的模的定义与复数的乘法运算问题，考查了复数相等的概念，是基础题3.南宋数学家秦九韶在数书九章中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知，程序框图设计的是求的值，在处应填的执行语句是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合程序的运行过程及功能，可得答案【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，结合程序框图的功能可知：n的值为多项式的系数，由2019，2018，2017直到1，由程序框图可知，处理框处应该填入n2019i故选：B【点睛】本题考查的知识点是程序框图，读懂框图的功能是解题的关键，属于基础题4.已知双曲线的离心率为，则它的一条渐近线被圆截得的线段长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】运用双曲线的离心率公式和a，b，c的关系，可得ba，求得双曲线的一条渐近线方程，可求得圆心到渐近线的距离，再由弦长公式计算即可得到所求值【详解】由题意可得e，即ca，即有ba，设双曲线的一条渐近线方程为yx，即为yx，圆的圆心为（3，0），半径r3，即有圆心到渐近线的距离为d，可得截得的弦长为22故选：D【点睛】本题考查直线和圆相交的弦长的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和弦长公式，考查运算能力，属于中档题5.将甲、乙两个篮球队场比赛的得分数据整理成如图所示的茎叶图，由图可知以下结论正确的是（ ）A. 甲队平均得分高于乙队的平均得分B. 甲队得分的中位数大于乙队得分的中位数C. 甲队得分的方差大于乙队得分的方差D. 甲乙两队得分的极差相等【答案】C【解析】【分析】由茎叶图分别计算甲、乙的平均数，中位数，方差及极差可得答案【详解】29；30，A错误；甲的中位数是29，乙的中位数是30，290，当x（1，2）时，yf（x）1；当x2，）时，yf（x）2函数yf（x）的值域是1，2故选D【点睛】本题考查了新定义的理解和应用，考查了分离常数法求一次分式函数的值域，是中档题8.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由三视图可知几何体是如图的四棱锥，由正视图可得四棱锥底面四边形中几何量的数据，再由侧视图得几何体的高，把数据代入棱锥的体积公式计算【详解】由三视图知：几何体是四棱锥S-ABCD，如图：四棱锥的底面四边形ABCD为直角梯形，直角梯形的底边长分别为1、2，直角腰长为2；四棱锥的高为，几何体的体积V故选A【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及所对应几何量的数据是解题的关键9.已知抛物线，过原点作两条互相垂直的直线分别交于两点（均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点到直线距离的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设A（，），B（，），由OAOB，利用斜率计算公式可得kOAkOB1，得出t1t21又kAB，即可得出直线AB恒过定点，由此可得结论【详解】设A（，），B（，）由OAOB，得1，得出t1t21又kAB，得直线AB的方程：y2t1（x2t12）即x（）y20令y0，解得x2直线AB恒过定点D（2，0）抛物线的焦点F到直线AB距离的最大值为FD=2， 故选：C【点睛】本题考查了抛物线中直线过定点问题的求解与应用，涉及斜率计算公式与直线方程的形式，属于中档题10.已知平面向量满足，若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意设向量，的夹角为，将平方运算可得=120，再将平方运算可得关于k的一元二次不等式，利用0，求解范围即可.【详解】设向量，的夹角为，则=1+4-2=7，=120，,又，即=对于任意实数恒成立，对于任意实数恒成立，-4（）0，t，故选B【点睛】本题考查了向量的模、向量的数量积的运算及应用，考查了二次不等式恒成立的问题，属于中档题11.在长方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面没有公共点，则三角形面积的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由直线与平面没有公共点可知线面平行，补全所给截面后，易得两个平行截面，从而确定点P所在线段，得解【详解】补全截面EFG为截面EFGHQR如图，其中H、Q、R分别为、的中点，易证平面ACD1平面EFGHQR，直线D1P与平面EFG不存在公共点， D1P面ACD1，D1P面ACD1，PAC，过P作AC的垂线，垂足为K，则BK=,此时BP最短，PBB1的面积最小，三角形面积的最小值为，故选：C【点睛】本题考查了截面问题，涉及线面平行，面面平行的定义的应用，考查了空间想象能力与逻辑思维能力，属于中档题12.函数是定义在上的函数,，且在上可导，为其导函数，若且，则不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】构造函数，g（x）xf（x），利用导函数的单调性，转化求解不等式的解集即可【详解】函数f（x）在（0，+）上可导，为其导函数，令g（x）xf（x），则g（x）x+f（x），可知当x（0，2）时，g（x）是单调减函数，x（2，+）时，函数g（x）是单调增函数，又f（3）0，,则g（3）3f（3）0，且g（0）0则不等式f（x）0的解集就是xf（x）0的解集，不等式的解集为：x|0x3故选：B【点睛】本题考查函数的单调性的应用，不等式的解法，考查转化思想以及计算能力，属于中档题第卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知为坐标原点，向量，若，则_.【答案】【解析】【分析】设出P的坐标，得到关于x，y的方程，解出即可【详解】设P（x，y），则（x-1，y2），而（-3，3）若，则2（x-1）-3，2（y2）3，解得：x，y，故|，故答案为：【点睛】本题考查了向量的坐标运算，考查转化思想，是一道基础题14.设实数满足，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，利用表示的几何意义，结合图象即可得出的范围【详解】先根据实数x，y满足的条件画出可行域，如图阴影部分：（含边界）由的几何意义是可行域内任意一点P与坐标原点连线的斜率，观察图形可知，当点P在点A处取最小值，由解得A（-1，3）最小值为-3， 当点P在点B处取最大值, 由解得B（-2，）,最大值为，故的取值范围是故答案为：【点睛】本题考查了线性规划中的最值范围问题，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，属于中档题15.在中，角所对的边分别为，且，则_.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理将已知条件角化边求得c，再利用余弦定理解得b即可.【详解】，由正弦定理可得c+2c=a，代入，得到a=c=，又cosB，b故答案为.【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，考查了计算能力，属于基础题16.已知函数，若函数有两个极值点，且，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】由题意可得，作比得=，令=t，结合条件将写成关于t的函数，求导分析得到的范围，再结合得到a的范围，与函数有两个极值点时a的范围取交集即可.【详解】函数有两个极值点，有两个零点，即，两式作比得到:=，令，则有=,代入可得，又由得=，t,令g（t）=，（t）,则=，令h(t)=，则=，h(t)单调递减，h(t)=1-2，g（t）单调递减，g(t)=，即，而，令u(x)=，则0, u(x)在x上单调递增，u(x)，即a，又有两个零点，u(x)在R上与y=a有两个交点，而，在（-，1）,u(x)单调递增，在（1，+, u(x)单调递减，u(x)的最大值为u(1)=，大致图像为：,又，综上，故答案为.【点睛】本题考查了利用导数研究函数零点问题，利用导数研究函数的单调性与极值、最值问题，运用了整体换元的方法，体现了减元思想，属于难题三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程17.数列满足：，.（1）求的通项公式；（2）设，数列的前项和为，求满足的最小正整数.【答案】（1）；（2）10.【解析】【分析】（1）n=1时，可求得首项，n2时，将已知中的n用n-1代换后，与已知作差可得，再验证n=1也符合，即可得到数列an的通项；（2）由（1）可得bn的通项公式，由裂项相消法可得Sn，再由不等式，得到所求最小值n【详解】（1）n=1时，可得a14，n2时，与两式相减可得（2n1）+1=2n，n=1时，也满足，.（2）=Sn，又，可得n9，可得最小正整数n为10【点睛】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用将n换为n1，以及裂项相消的求和公式，考查化简运算能力，属于中档题18.四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，为的中点，.（1）求证：；（2）若在线段上，且，能否在棱上找到一点，使平面平面？若存在，求四面体的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接PF，BD由三线合一可得ADBF，ADPF，故而AD平面PBF，于是ADPB；（2）先证明PF平面ABCD，再作PF的平行线，根据相似找到G，再利用等积转化求体积【详解】连接PF，BD,是等边三角形，F为AD的中点，PFAD，底面ABCD是菱形，ABD是等边三角形，F为AD的中点，BFAD，又PF，BF平面PBF，PFBFF，AD平面PBF，PB平面PBF，ADPB（2）由（1）得BFAD，又PDBF，AD，PD平面PAD，BF平面PAD，又BF平面ABCD，平面PAD平面ABCD，由（1）得PFAD，平面PAD平面ABCDAD，PF平面ABCD，连接FC交DE于H,则HEC与HDF相似，又，CH=CF，在PFC中,过H作GHPF交PC于G，则GH平面ABCD，又GH面GED，则面GED平面ABCD，此时CG=CP,四面体的体积所以存在G满足CG=CP, 使平面平面，且.【点睛】本题考查了线面垂直的判定与性质定理，面面垂直的判定及性质的应用，考查了棱锥的体积计算，属于中档题19.为推动更多人阅读，联合国教科文组织确定每年的月日为“世界读书日”.设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都能保护知识产权.为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了名居民，经统计这人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为,将这人按年龄分组，其中统计通过电子阅读的居民得到的频率分布直方图如图所示.（1）求的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；（2）把年龄在第组的居民称为青少年组，年龄在第组的居民称为中老年组，若选出的人中通过纸质阅读的中老年有人，请完成上面列联表，则是否有的把握认为阅读方式与年龄有关？【答案】（1），；（2）有.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求出a的值，再计算数据的平均值；（2）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论【详解】（1）由频率分布直方图可得：10（0.01+0.015+a+0.03+0.01）1，解得a0.035，所以通过电子阅读的居民的平均年龄为：20100.01+30100.015+40100.035+50100.03+60100.0141.5；（2）由题意人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为, 纸质阅读的人数为200=50，其中中老年有人，纸质阅读的青少年有20人，电子阅读的总人数为150，青少年人数为150=90，则中老年有人，得22列联表，电子阅读纸质阅读合计青少年（人）9020110中老年（人）603090合计（人）15050200计算，所以有的把握认为认为阅读方式与年龄有关【点睛】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，考查了阅读理解的能力，是基础题20.椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一动点（异于左、右顶点），若的周长为，且面积的最大值为.（1）求椭圆的方程；（2）设是椭圆上两动点，线段的中点为，的斜率分别为 为坐标原点，且，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）通过2a+2c=且，计算即得结论；（2）当直线AB的斜率k0时，|OP|，当直线AB的斜率k0时，可令AB的方程为：xmy+t，由可得（m2+4）y2+2mty+t240，求得p（，）由，2t2m2+4，代入|OP|2的运算中，化简得|OP|2（，2即可【详解】（1）由题知，的周长为2a+2c=且，c=椭圆C的方程为：；（2）当直线AB的斜率k0时，此时k1，k2（O为坐标原点），满足，k1-k2=可令OB的方程为：y，（xB0）由可得B（，），此时|OP|，当直线AB的斜率k0时，可令AB的方程为：xmy+t，由可得（m2+4）y2+2mty+t240，4m2t24（m2+4）（t24）0m2t2+40，x1+x2m（y1+y2）+2tp（，），4y1y2+x1x20（4+m2）y1y2+mt（y1+y2）+t20t24t202t2m2+4，且t22，由可得t22恒成立，|OP|2（，2|OP|综上，|OP|的取值范围为，【点睛】本题考查了椭圆的方程的求法，考查了椭圆的几何性质及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了计算能力，转化思想，属于难题21.已知函数.（1）曲线在点处的切线方程为，求的值；（2）若，时，都有，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）对f(x)求导后利用-1,直接求解即可.（2）先判断若，时，f（x）在区间上是减函数，利用单调性及的大小去绝对值，得到，构造函数在x时是增函数可得，即在x时恒成立再构造g(x)=利用导数分析其最值，即可得出实数a的取值范围【详解】（1）=，-2b=-1,b=,a=1.（2）若，时，,在x上恒成立，f（x）在区间上是减函数不妨设1x1x2e，则，则等价于即，即函数在x时是增函数，即在x时恒成立令g(x)=,则，令，则=-=0，y0在x时恒成立,即在x时恒成立, g(x) 在x时是增函数，g(x)g(e)=e-3所以，实数a的取值范围是【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用，考查了利用导数研究函数的单调性及最值范围问题，考查了等价转化、适当变形、构造函数等基础知识与基本技能，考查了理能力和计算能力，属于难题选修44：坐标系与参数方程 22.在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数，直线与曲线分别交于两点.（1）若点的极坐标为，求的值；（2）求曲线的内接矩形周长的最大值.【答案】（1）4；（2）16.【解析】【分析】（1）根据题意，将曲线C的极坐标方程