时域离散信号与系统频域分析基础.pptVIP

第2章 时域离散信号与系统频域分析基础,引言 序列的z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系 离散时间傅里叶变换 离散时间傅里叶变换性质 离散信号与系统分析,2.1 引言,案例 时域信号频谱分析在信号噪声滤除中的应用。,2.2序列的Z变换与Laplace/Fourier变换的关系,时域离散信号的Z变换及其收敛域 z变换的定义及其收敛域 z变换的收敛域与序列之间的关系 z反变换 序列的z变换与连续信号的拉普拉斯变换、傅里叶变换的关系,ZT的定义,z 是复变量，所在的复平面称为z平面,时域离散信号的z变换及其收敛域,时域离散信号的z变换及其收敛域,ZT的收敛域,对于任意给定序列x(n)，使其z变换X(z)收敛的所有z值的集合称为X(z)的收敛域。 Z变换存在的条件：级数收敛的充要条件是满足绝对可和,收敛域（ ROC ：region of convergence） : 一般收敛域用环状域表示,时域离散信号的z变换及其收敛域,常用的Z变换是一个有理函数， 用两个多项式之比表示 X(z)的零点:分子多项式P(z)的根; X(z)的极点:分母多项式Q(z)的根; 在极点处Z变换不存在， 因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界。,z变换的收敛域与序列之间的关系,1）有限长序列,除0和两点是否收敛与n1和n2取值情况有关外，整个z 平面均收敛。,如果n20 ，则收敛域不包括点 如果n10 ，则收敛域不包括0点 如果n10n2，收敛域不包括0 、点,2）右边序列,因果序列,的右边序列 Roc: 因果序列的z变换必在 处收敛 在 处收敛的z变换， 其序列必为因果序列,3）左边序列,4）双边序列,例1:,收敛域应是整个z的闭平面,例2：求x(n)=RN(n)的z变换及其收敛域,例3：求x(n)=anu(n)的变换及其收敛域,例4：求x(n)=-anu(-n-1)的变换及其收敛域,给定z变换X(z)不能唯一地确定一个序列，只有同时给出收敛域才能唯一确定。 X(z)在收敛域内解析，不能有极点，故： 右边序列的z变换收敛域一定在模最大的有限极点所在圆之外 左边序列的z变换收敛域一定在模最小的有限极点所在圆之内,结论：,z反变换,实质：求X(z)幂级数展开式 z反变换的求解方法： 围线积分法（留数法） 部分分式法 长除法,z反变换: 从X(z)中还原出原序列x(n),根据复变函数理论，若函数X(z)在环状区域 内是解析的，则在此区域内X(z)可展开成罗朗级数，即 而 其中围线c是在X(z)的环状 收敛域内环绕原点的一条 反时针方向的闭合单围线。,围线积分法求解（留数法）,若F(z)在c外M个极点zm，且分母多项式z的阶次比分子多项式高二阶或二阶以上，则：,利用留数定理求围线积分，令,若F(z)在围线c上连续，在c内有K个极点zk，则：,留数的计算公式,单阶极点的留数：,N阶极点的留数：,单阶极点的留数：,N阶极点的留数：,思考：n=0、1时，F(z)在围线c外也无极点，为何,部分分式展开法,X(z)是z的有理分式，可分解成部分分式：,对各部分分式求z反变换：,常见序列Z变换,幂级数展开法求解（长除法）:,一般X(z)是有理分式，可利用分子多项式除分母多项式（长除法）得到幂级数展开式，从而得到x(n)。,级数的系数就是序列x(n),根据收敛域判断x(n)的性质，再展开成相应的z的幂级数 将X(z) X(z)的 x(n) 展成z的 分子分母 按z的 因果序列 负幂级数 降幂排列 左边序列 正幂级数 升幂排列,解：由Roc判定x(n)是因果序列，用长除法展成z的负幂级数,解：由Roc判定x(n)是左边序列，用长除法展成z的正幂级数,序列的z变换与连续时间信号的Laplace变换、Fourier变换的关系,序列的z变换：,连续时间信号的Laplace变换：,连续时间信号的Fourier变换：,1、序列的z变换&理想抽样信号的Laplace变换,理想抽样信号：,其Laplace变换：,其z变换：,比较理想抽样信号的Laplace变换：,得：,z平面： （极坐标）,抽样序列的z变换=理想抽样信号的Laplace变换,s平面到z平面的 映射是多值映射。,:,:,:,:,2、序列的z变换&理想抽样信号的Fourier变换,抽样序列在单位圆上的z变换 =其理想抽样信号的Fourier变换,Fourier变换是Laplace变换在虚轴上的特例。,即: s=j,映射到z平面为单位圆,数字频率w表示z平面的辐角，它和模拟角频率的关系为,在以后的讨论中，将用数字频率w来作为z平面上单位圆的参数，即,所以说，数字频率是模拟角频率的归一化值，或是模拟频率对抽样频率的相对比值乘以2p,2.3 离散时间傅里叶变换（DTFT）,一、DTFT的定义,变换对：,称为离散时间傅里叶变换（DTFT）。,DTFT存在的充分必要条件是：,x(n)绝对可和是x(n)的傅里叶变换存在充要条件； 如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来。,解：由定义得 其中,下图2.7画出了 与 的图形。,N=5点矩形序列的傅里叶变换,二、比较ZT和DTFT的定义：,利用ZT和DTFT的关系可以由ZT计算DTFT。,序列的傅里叶变换是序列的z变换在单位圆上的值,例1、计算矩形序列RN(n)的DTFT,(类似Sa(.)函数 ),(线性相位),解：,DTFT,幅频特性：,相频特性：,图示说明：,N=8点矩形序列的傅里叶变换,2.4 序列傅里叶变换的性质,序列的Fourier变换和反变换：,2.4 序列傅里叶变换的性质,1. DTFT的周期性,2. 时移与频移,3. DTFT的时域卷积定理,4. DTFT的频域卷积定理,5. DTFT的对称性,6. DTFT的帕斯瓦尔定理,N为整数,因此序列的傅里叶变换是频率的周期函数， 周期是2。 这样X(ej)可以展成傅里叶级数， x(n)是其系数。,1. DTFT的周期性,2. 时移与频移,设X(e j)=DTFTx(n)， 那么,3. 时域卷积定理,DTFT x(n)*h(n)=X(e j)H(e j),4. 频域卷积定理,设 y(n)=x(n)h(n)，则,线性性：,序列线性加权：,序列翻褶：,序列共轭：,其他性质,5. DTFT的对称性质,定义： 共轭对称序列：,共轭反对称序列：,任意序列可表示成xe(n)和xo(n)之和:,其中：,其中：,同样，x(n)的Fourier变换 也可分解成：,对称性质,序列 Fourier变换,实数序列的对称性质,序列 Fourier变换,实数序列的Fourier变换满足共轭对称性,实部是的偶函数 虚部是的奇函数,幅度是的偶函数 幅角是的奇函数,6. 帕斯维尔(Parseval)定理,2.5 离散信号与系统分析,系统的系统函数与频率特性 系统因果性与稳定性分析 零极点图辅助分析系统的频率特性 系统的输出响应,系统的系统函数与频率特性,LSI系统的系统函数H(z)： 单位抽样响应h(n)的z变换,其中：y(n)=x(n)*h(n) Y(z)=X(z)H(z),系统的频率响应 ：,单位圆上的系统函数,单位抽样响应h(n)的Fourier变换,系统的频率响应的意义,1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：,输出同频 序列 幅度受频率响应幅度 加权 相位为输入相位与系统相位响应之和,2）LSI系统对任意输入序列的稳态响应,1、LSI系统因果稳定性分析,稳定系统的系统函数H(z)的Roc须包含单位圆，即频率响应存在且连续,H(z)须从单位圆到的整个z域内收敛即系统函数H(z)的全部极点必须在单位圆内,1）因果：,2）稳定：,序列h(n)绝对可和，即,而h(n)的z变换的Roc：,3）因果稳定：Roc：,零极点图分析系统的频率特性,常系数线性差分方程：,取z变换,则系统函数,利用H(z)在z平面上的零极点分布,频率响应：,零极点图分析系统的频率特性,则频率响应的,令,幅角：,幅度：,零点位置影响凹谷点的位置与深度 零点在单位圆上，谷点为零 零点趋向于单位圆，谷点趋向于零 极点位置影响凸峰的位置和深度 极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷 极点在单位圆外，系统不稳定,一 N 阶线性系统的差分方程为 即有,系统的输出响应,如果输入为因果序列，系统的初始条件为：,系统的输出响应,式（2-62）中右边第一项与初始条件无关，只与输入有关，为系统的零状态响应；而右边第二项只与系统的初始条件有关，与输入信号无关， 为系统的零输入响应，所以输出为系统的全响应。,系统的输出响应,例 已知系统的差分方程为 输入信号 ，初始条件为 。求系统输出响应。,解：对给定的系统输入和系统差分方程取 变换，得 代入初始条件并整理，得 取上式收敛域为 ，则有,系统稳态响应,零状态响应：,输出响应：,稳态响应：,系统稳态响应,系统稳态响应,若系统稳定，则稳态响应为：,例2-14 已知系统函数为 输入信