离散随机变量及其分布律2.ppt

第二节 离散随机变量及其分布律,分布函数,分布律,离散型随机变量的分布函数,离散型随机变量分布律与分布函数的关系,二、常见离散型随机变量的概率分布,1、两点分布(0-1分布 ),则称X服从参数为p 的两点分布或(0-1)分布,背景：样本空间只有两个样本点的情况 都可以用两点分布来 描述。,如：上抛一枚硬币。,定义： 若随机变量X的分布律为:,其中0 p 1, 则称X服从参数为 n, p 的二项分布(也称Bernoulli 分布）,记为,XB( n, p),在n重伯努利试验中,若以X表示事件A发生的次数, 则X可能的取值为0,1,2,3,n.,随机变量X的分布律,2、二项分布（Binomial distribution）,二项分布的图形,从一批由9件正品、3件次品组成的产品中,有放回地抽取5次,每次抽一件,求恰好抽到两次次品的概率.,有放回地抽取5件,可视为5重Bernoulli实验,记X为共抽到的次品数，则,A=“一次实验中抽到次品”，P(A)=3/12,n=5 p=1/4,例,解,例,一大批种子发芽率为90%，今从中任取10粒.求播种后, 求（1）恰有8粒发芽的概率；（2）不小于8粒发芽的概率。,解,XB（10, 0.9）,(1) P(X=8)=,P(X=8)+P(X=9)+P(X=10),3. 几何分布,若随机变量 X 的分布律为,则称 X 服从几何分布.,实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数目 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.,所以 X 服从几何分布.,说明 几何分布可作为描述某个试验 “首次成功” 的概率模型.,解,4.超几何分布,设X的分布律为,超几何分布在关于废品率的计件检验中常用 到.,说明,5、泊松分布 Poisson distribution,若随机变量 X 的分布律为:,其中 0, 则称X服从参数为的泊松分布,XP(),定义,泊松分布的图形,交换台在服务台在某时间段内接待的服务次数X； 某时间段内接到呼叫的次数Y; 矿井在某段时间发生事故的次数; 显微镜下相同大小的方格内微生物的数目； 单位体积空气中含有某种微粒的数目,体积相对小的物质在较大的空间内的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其参数 可以由观测值的平均值求出。,实际问题中若干R.v.X是服从或近似服从 Poisson分布的,例,解,泊松定理,实际应用中：当n较大,p较小，np适中时，即可用泊松公式近似替换二项概率公式,二项分布的泊松近似,The Poisson Approximation to the Binomial Distribution,泊松定理,证明,对于固定的 k，有,所以，,上面我们提到,解,合理配备维修工人问题,由泊松定理得,故有,即,例:设一只昆虫所产虫卵个数X服从参数为的泊松分布，而每个虫卵发育为幼虫的概率为p，并且各个虫卵是否发育成幼虫是相互独立的。试证明：一只昆虫的下一代幼虫个数Y服从参数为p的泊松分布。,证明：由题设知,这里q=1-p,由全概率公式得,即Y服从参数为p的泊松分布.,内容小结,1. 离散型随机变量 X 的分布律(分布列),2. 常见的离散型分布及其应用背景.,两点分布,(或 01分布),X B(1,p),伯努利 概型,(0p1),二项分布,X B(n ,p),(0p1),n重伯努利概型,泊松分布,X P