离散型随机变量的概率分布.ppt

2.2 离散型随机变量的概率分布,一.离散型随机变量 二.几种重要的离散型随机变量,1. 定义 若随机变量全部可能取到的值是有限多个 或可列无限多个, 则 称为离散型随机变量.,X x1 x2 xn pk p1 p2 pn .,一.离散型随机变量,例1. 设一汽车在开往目的地的道路上需经过 四盏信号灯, 每盏信号灯以概率p禁止汽 车通过, 以X表示汽车首次停下时已通过 信号灯的盏数, 求X的分布律. (设各信号灯的工作是相互独立的).,解: X 0 1 2 3 4 pk,即 PX=k=(1-p)kp, k=0,1,2,3.,(1-p)p,(1-p)2p,(1-p)3p,(1-p)4,PX=4=(1-p)4,p,例2. 袋中装有4只红球和2只白球, 从袋中不放 回地逐一地摸球, 直到第一次摸出红球 为止, X表示到第一次摸出红球时所摸的 次数, 求X的分布律.,例3.常数b=_, 为离散型随机变量的概率分布.,b=1,三 几种重要的离散型r.v.的分布律,X 0 1 pk 1-p p 其中0p1, PX=k=pk(1-p)1-k, k=0,1.,若某随机试验E只有两个(或相互对立 的两类)可能的结果, 只要将其中的一 个(或一类)结果对应于数字1,于是就可 用0-1分布的随机变量来描述有关的随 机事件.,(一) 0-1分布,(二) 贝努利试验 (二项分布),注: 独立 各次实验结果互不影响, 即相互独立.,注: 重复 各次实验条件不变. 即P(A)不变.,例5. 设X是n重贝努利试验中事件A发生的次数, 成功的概率为p,则X是一个随机变量, 我们来求 它的分布律. 若n=4, 求:PX=k，k=0, 1, 2, 3, 4.,解:,k=0,k=1,一般地有,称 X服从参数为 n , p 的二项分布, 记为 Xb(n,p).,当n=1时, PX=k=pk(1-p)1-k, k=0,1, 即为0-1分布.,例6. 某种电子元件的使用寿命超过1500小时为 一级品, 已知一大批该产品的一级品率为0.2, 从中随机抽查20只. 求这20只元件中一级品只数X的分布律.,解:,例7. 某人进行射击, 每次命中率为0.02, 独立射击 400次, 试求至少击中两次的概率.,当n较大, p又较小时, 二项分布的计算比较 困难, 例如 0.98400，0.02400, , 可以用Pois- son分布近似计算.,(三) 泊松分布(Poisson),(2)泊松分布有很多应用.,例如,一定时间间隔内电话交换台收到的呼唤次数;,一本书的印刷错误数;,某一地区一个时间间隔内发生的交通事故数等 都服从泊松分布.,泊松(Poisson)定理：,证明:,(3)二项分布与泊松分布之间的关系由下面的泊松定理给出.,泊松定理的意义：,1. 在定理的条件下, 二项分布的极限分布是 泊松分布.,2. 当 n很大且 p又较小时,例8. 设有同类型设备300台, 各台工作是相互独立 的, 发生故障的概率都是0.01, 设一台设备的故障 由一个人处理, 问至少需配备多少工人, 才能保证 当设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?,解:,设需配备N个工人, 记同一时刻发生故障的设 备 台数为X,则X,b(300,0.01).,所谓“设备发生故障不能及时维修”的数学表达 式为:,“XN”,即求最小的N, 使得,PXN0.01.,(四) 几何分布,进行重复独立试验, 设每次试验成功的概率为p, 失败的概率为1-p=q(0p1), 将试验进行到出现一 次成功为止, 以X表示所需的试验次数, 则X的分布 律为:,PX=k=qk-1p, k=1, 2, ,称为X服从参数为p的几何分布.,例 设某种社会定期发行的奖券,每券1元,中奖率为p, 某人每次购买1张奖券, 如果没有中奖下次继续再买 1张, 直到中奖止, 求购买次数X的分布律.,解：,PX=k=p(1-p)k-1, k=1, 2, 3, ,若该人共准备购买10次共10元钱, 即如 果中奖就停止, 否则下次再购买1张, 直 到10元共花完为止,求购买次数Y的分 布律.,解：,PY=k,=p(1-p)k-1, k=1, 2, , 9,PY=10,=p(1-p)9,+(1-p)10,=(1-p)9.,1. 设在一次试验中，事件A发生的概率为p, 现进行 n 次独立试验，则A至少发生一次的 概率为_, A至多发生一次的概率为_。,练习题,3. 设随机变量X服从参数为(2,p)的二项分布， 随机变量Y服从参数为(3,p)的二项分布, 若 PY=1=5/9 , 则 PX=1= 。,2. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若 至少命中一次的概率为80/81, 则该射手的命 中率为_。,1解:,以X表示n次独立试验中事件A发生的次数，,则由题意可知: X,b(n, p).,从而A至少发生一次的概率为:,A至多发生一次的概率为：,1. 设在一次试验中，事件A发生的概率为p, 现进行 n 次独立试验，则A至少发生一次的 概率为_, A至多发生一次的概率为_。,练习题答案,3. 设随机变量X服从参数为(2,p)的