定积分的计算方法.ppt

53 定积分的计算方法,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,基础知识,定积分的换元积分法,设函数,在,上连,续，令,且满足：,（1）,（2）,当,从,变化到,时，,单调地从 a变化到 b;,（3）,在,上连续，,则有定积分的换元公式,经济应用数学,证 设,是,的一个原函数，则,根据复合函数的求导法则，有,因此，有,所以,例1 计算,解 令,则,且,当,时，,当,时，,于是,经济应用数学,例2 计算,解 令,则,且当,时，,时，,于是,经济应用数学,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,经济应用数学,例3 求定积分,解,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,经济应用数学,讨论：为什么后面的解法不需要换限？,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,经济应用数学,定积分的分部积分法,设函数,与,在区间,上有连续的导数，则,或简写成,上列公式称为定积分的分部积分公式.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,经济应用数学,证 因为,两边分别求在区间a，b上的定积分，得,即,移项，得,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,经济应用数学,例4 计算,解,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,小结：,1换元积分法：,2分部积分法：,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,经济应用数学,应用案例,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,经济应用数学,案例1（ 放射物的泄漏）环保局近日对一起放射性碘物质泄漏事件进行调查，检测结果显示，当事当日，大气中辐射水平是可接受的最大限度的四倍，于是环保局下令当地居民立即撤离这一地区. 已知碘物质放射源的辐射水平是按,是初始（t=0）时的辐射水平，t是时间（单位：h）.,的速度衰减的，其中R是t时刻的辐射水平（单位：mR/h），,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,经济应用数学,（1）该地降低到可接受的辐射水平需要多长时间？,（2）如果可接受的辐射水平的最大限度为0.6毫伦琴/h，那么降低到这一水平时已经泄漏出去的放射物的总量是多少？,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,经济应用数学,解 （1）设降低到辐射水平需要,小时，此时辐,射水平为,的四分之一. 于是，得,解得,（2）因为可接受辐射水平的最大限度为0.6毫伦琴/h，,所以在,时的辐射水平为2.4毫伦琴/h，即,设泄露出去的放射物总量为W，则有,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,经济应用数学,答：已经泄漏出去的放射物的总量是450毫伦琴.,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,经济应用数学,案例2（石油总产量）经济学家研究一口新井的,原油生产速度时，建立了下列数学模型,求该油井开始3年内生产的石油总量.,解 设开始3年内生产的石油总量为W，则有,湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College,经济应用数学,答：该油井开始3年内生产的石油总量约为3.0095.,经济应用数学,综合实训,课 外（P） 第1（3）（5）