抽象代数群的定义.ppt

2019/7/21,1,第 3 讲,群的定义及例子,2,2019/7/21,群的定义,设非空集S上有一个运算 , 1、如果运算满足结合律，则称(S,)是半群。 2、如果半群S中有一个元素 e 满足aS有 e a = a e = a， 则称(S, e) 是幺半群，称e为单位元 或幺元。 3、如果幺半群S满足 aS有S使得 a = a = e 则称 a 是可逆元，并称是 a 的一个逆元。 注：通常用 1 表示单位元。,3,2019/7/21,群定义,命题 若 a 是可逆元，则 a 的逆元是唯一的，记为 a 证明：若 a 有两个逆元和，即有 ab=ba=1, ac=ca=1 b=1b=cab=c1=c. 5、如果幺半群S的每个元素都有逆元，则称是一个群 (group)。 运算满足交换律的群称为交换群.,4,2019/7/21,群定义,6、对群G中的元 a 和正整数 n an 表示 n 个 a 相乘; a-n =(a-1)n, a0 = 1 7、验证： amn =(am)n ; am+n =am an.,5,2019/7/21,几个问题: (1)、为什么要求群的运算满足结合律? (2)、为什么要有单位元？ (3)、逆元的存在性有何运算意义?,6,2019/7/21,群的例子,再明确一下群的概念 定义 设是一个非空集合，如果上定义了一个运算满足 （）结合律 a,b,cA 有 (ab)c=a(bc)； （）有单位元 e：aA有 ea=ae=a； （）有逆元 aG，有 b使得 ab=ba=e (其中 b 称为 a 的逆元，记为 a )。 则称是一个群 注意：记住验证运算的封闭性！,7,2019/7/21,1.群的概念和例子,例 实集、有理数集、整数集关于数的加法都是交换群（满足交换律的群）； 关于数的乘法怎么样？ 规定：只有交换群的运算符才能用加号“+”表示。 当交换群G的运算符才能用加号“+”表示时，则称G为加群。 例 正实集、正有理数集关于数的乘法都是交换群； 正整数集关于数的乘法怎么样？,8,2019/7/21,例,即方程 xn = 1 的全部根之集，,不难验证:,1.群的概念和例子,设,是n次单位根集,n 关于数的乘法是一个群叫做n次单位根群。,9,2019/7/21,1.群的概念和例子,证明：,例 域上的全体 n 阶可逆方阵GLn(F)关于矩阵的乘 法构成一个群，称为上的 n 阶一般线性群,即,GLn(F)，有ABGLn(F),封闭性,可逆矩阵的乘积还是可逆矩阵，,结合律:,矩阵的乘法满足结合律；,单位元:,单位矩阵就是单位元；,逆 元:,GLn(F)，可逆，A的逆矩阵就是 的逆元,10,2019/7/21,1.群的概念和例子,例 域上的行列式为1的全体n阶方阵之集SLn(F)关于矩阵的乘法构成一个群，称为上的n阶特殊线性群 例6 实数域R上的全体n阶正交矩阵之集On(R)关于矩阵的乘法构成一个群，称为n阶正交群,11,2019/7/21,例7 向量空间V上的全体可逆线性变换GL(V)关于变换的合成运算构成一个群 例8 n 维欧氏空间V上的全体正交变换之集On(V)关于变换的合成运算构成一个群 例9 平面上绕一定点按同一方向旋转 2k /