分类加法计数原理和分步乘法计数原理.ppt

数学选修2-3,第一章 计数原理,以计数问题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，它也是培养同学思维能力的不可多得的好素材；作为初中一种多项式乘法公式推广二项式定理，不仅使前面组合等知识的学习得到强化，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系；至于概率，在概率论与数理统计已获得今日社会的广泛应用、概率已成为日常生活的普通常识的今天，对它进行初步学习更是显得十分重要：可以获得概率的一些基本知识，了解其中的一些基本观念和思考方法，运用它解决一些简单的实际问题，并为到高中三年级以及进一步学习概率统计知识打好必要的基础。,2008年29届夏季奥运会在北京举行奥运会足球赛共有个队参赛它们先分成个小组进行循环赛，决出强，这个队按确定的程序进行淘汰赛后，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、第四名问一共安排了多少场比赛？,实际问题,要回答这个问题，就要用到排列、组合的知识在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理,用一个大写的的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？,问题 1,问题 2. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班。那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?,分析: 从甲地到乙地有3类方法, 第一类方法, 乘火车，有4种方法; 第二类方法, 乘汽车，有2种方法; 第三类方法, 乘轮船, 有3种方法; 所以 从甲地到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法。,一、分类计数原理,完成一件事，有两类办法. 在第1类办法中有m种不同的方法，在第2类方法中有n种不同的方法，则完成这件事共有,2）首先要根据具体的问题确定一个分类标准，在分类标准下进行分类，然后对每类方法计数.,1）各类办法之间相互独立,都能独立的完成这件事，要计算方法种数,只需将各类方法数相加,因此分类计数原理又称加法原理,说明,N= m+n种不同的方法,问题3、用前6个大写英文字母和19九个阿拉伯数字，以A1，A2，B1，B2，的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？,字母 数字 得到的号码 A,1 2 3 4 5 6 7 8 9,A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9,树形图,二、分步计数原理,完成一件事，需要两个步骤。做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，则完成这件事共有,2）首先要根据具体问题的特点确定一个分步的标准，然后对每步方法计数.,1）各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成,将各个步骤的方法数相乘得到完成这件事的方法总数,又称乘法原理,说明,N= mn种不同的方法,联系,区别一,完成一件事情共有n类 办法，关键词是“分类”,完成一件事情,共分n个 步骤，关键词是“分步”,区别二,每类办法都能独立完成 这件事情。,每一步得到的只是中间结果， 任何一步都不能能独立完成 这件事情，缺少任何一步也 不能完成这件事情，只有每 个步骤完成了，才能完成这 件事情。,分类计数原理和分步计数原理，回答的都是关于 完成一件事情的不同方法的种数的问题。,区别三,各类办法是互斥的、 并列的、独立的,各步之间是相关联的,分类计数与分步计数原理的区别和联系：,解：这名同学在A大学中有5种专业选择，在B大学中有4种专业选择。,根据分类计数原理：这名同学可能的专业选择共有5+49种。,例2、设某班有男生30名，女生24名。现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，共有多少种不同的选法？,例3、肥城市的部分电话号码是0538323,后面每个数字来自09这10个数,问可以产生多少个不同的电话号码?,变式: 若要求最后4个数字不重复,则又有多少种不同的电话号码?,0538323,分析:,分析:,例4、 书架上第1层放有4本不同的计算机书,第 2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育杂志.,(2)从书架的第1、 2、 3层各取1本书,有多少种 不同取法?,N43+29,N4 3224,(1)从书架上任取1本书,有多少种不同的取法?,解：需先分类再分步.,（3）从书架上取2本不同种的书,有多少种不同的取法?,根据两个基本原理，不同的取法总数是 N=43+42+32=26,第一类：从一、二层各取一本，,有43=12种方法；,第二类：从一、三层各取一本，,有42=8种方法；,第三类：从二、三层各取一本，,有32=6种方法；,答: 从书架上取2本不同种的书,有26种不同的取法.,例5、要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？,1. 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？,第一步：选1人上日班；,第二步：选1人上晚班.,有3种方法,有2种方法,N326（种）,课堂训练,2.从5人中选4人参加数、理、化学科竞赛，其中数学2人，理、化各1人，求共有多少种不同的选法？,5种,4种,3种,N54360（种）,3.三个比赛项目，六人报名参加。 ）每人参加一项有多少种不同的方法？ ）每项人，且每人至多参加一项，有多少种不同的方法？ ）每项人，每人参加的项数不限，有多少种不同的方法？,4.现要安排一份5天值班表，每天有一个人值班。共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不能由同一个人值班，问此值班表由多少种不同的排法？,解：分5步进行： 第一步：先排第一天，可排5人中的任一个，有5种排法； 第二步：再排第二天，此时不能排第一天的人，有4种排法; 第三步：再排第三天，此时不能排第二天的人，有4种排法; 第四步：同前 第五步：同前 由分步计数原理可得不同排法有544441280种,5.个班分别从个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是还是？,6.乘积（a1+a2+a3 ）（b1+b2+b3+b4 ）（c1+c2+c3+c4+c5） 展开后共有多少项？,60,7.如图,该电路,从A到B共有多少条不同的线路可通电？,A,B,解: 从总体上看由A到B的通电线路可分三类, 第一类, m1 = 3 条 第二类, m2 = 1 条 第三类, m3 = 22 = 4, 条 所以, 根据分类原理, 从A到B共有 N = 3 + 1 + 4 = 8 条不同的线路可通电。,在解题时有时既要分类又要分步。,思考题:,同室4个人各写一张贺卡，放在一起，再取一张不是自己写的贺卡，共有多少种不同的方法？,练习：,1、七名男同学和九名女同学，选出两人组成一支乒乓球混合双打代表队，共有多少种组队方法？,2、书架上原来并排放着5本书，现要再插入3本不同的书，则有多少种不同的插法？,3、现有1角币1张，2角币1张，5角币1张，1元币4张，5元币2张。用这些币值任意付款，可以付出不同数额的款共有多少种？,例1、四封不同的信投入3个不同的邮箱，共有多少种不同的投法？,练习： 4位同学参加3项不同的竞赛： （1）每名学生只能参加一项竞赛，有多少种不同的报名方案？,（2）每项竞赛只许有一位学生参加，有多少种不同的报名方案？,（3）每位学生只能参加一项竞赛，每项竞赛只许有1位学生参加，有多少种不同的报名方案？,练习：,2、若集合A=a1,a2,a3,a4,a5，B=b1,b2,b3，则从A到B可建立_个不同的映射，从B到A可建立_个不同的映射。,例2、由数字1,2，3,4可以组成多少个三位数？,变式1：若各位数字不允许重复，则有多少个三位数？,变式2：由数字0,1，2,3，4，可组成多少个无重复数字的三位数？,变式4：在不大于200的正整数中，各个数位都不含有数字8的自然数有多少个？,变式3：由数字0,1，2,3，4可以组成多少个无重复数字的三位偶数？,例3、某文艺小组有10人，每人至少会唱歌和跳舞中的一项，其中7人会唱歌，5人会跳舞，从中选出会唱歌与会跳舞的各1人，有多少种不同的选法？,例4、用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？,2003年全国高考题： 某城市中心广场建造一个花园，花园分成如图所示6块，要栽种4种颜色不同的花，每部分栽种一种且相邻部分不能种同颜色的花，则不同的栽种方法有种。,练习： （1）沿长方体的棱，从一个顶点到与之相对的另一个顶点的最近路线有条。,（2）甲、乙两个自然数的最大公约数为60，则甲、乙两数的公约数共有多少个？,（3）某班星期三上午需上化学、政治、英语、语文、体育5门课，已知体育不能排在上午第一节和第5节，而且语文要排在政治的前面，那么有多少种排课方法？,4、4张卡片的正、反面分别写有0与1 , 2与3,4与5,6与7，将其中3张卡片排放 在一起，可组成多少个不同的三位数？,5、设坐标平面内有1个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3,0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有种。,课堂练习,1、8本不同的书，任选3本分给3个同学，每人1本，有多少种不同的分法？ 2、将4封信投入3个邮筒，有多少种不同的投法？ 3、已知 则方程 可表示不同的圆的个数有多少？,课堂小结,相同点:回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题,分类计数原理与分步计数原理的异同:,区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用任何一种方法都可以做完这件事；分