《多项式矩阵理论》PPT课件.ppt

05级研究生线性系统理论教案,第六章 数学基础：多项式矩阵理论,一些基本概念（6.1,6.2,6.3,6.4,6.5,6.6) 多项式： 多项式矩阵： 元为多项式的矩阵 注1：多项式的集合不构成域，是环； 因其对乘逆运算不封闭； 注2：扩展成包括所有有理分式，则构成有理分式域， 记为R(s)。总是在有理分式域内讨论多项式矩阵和有理分式矩阵。,04级研究生线性系统理论教案,奇异和非奇异：对方多项式矩阵而言，Q(s) 线性相关和线性无关： 对象是有理分式域中的一组多项式向量,04级研究生线性系统理论教案,注意：,04级研究生线性系统理论教案,秩：与通常矩阵秩的定义相同,04级研究生线性系统理论教案,单模矩阵：一类特殊的多项式矩阵 方阵，非奇异 方多项式矩阵Q(s)，若detQ(s)是独立于s的一个非零常数，则称其为单模矩阵。 性质： （1）Q(s)为单模阵Q(s)的逆也是多项式矩阵； （2） Q(s)为单模阵Q(s)非奇异； （3）单模矩阵的逆阵也是单模矩阵； （4）单模矩阵的乘积也是单模矩阵。 初等变换： （1）行（列）交换； （2）用一非零实或复数乘以某行或列； （3）用某行（列）乘以一个多项式加到另一行（列）上。,04级研究生线性系统理论教案,注： （1）初等行（列）变换初变换的矩阵Q(s)左乘（右乘）初等矩阵； （2）初等矩阵都是单模矩阵； （3）对Q(s)进行一系列初等变换，相当于Q(s)左乘和（或）右乘单模矩阵； （4）单模矩阵可以分解成同维的初等矩阵的乘积，反之，初等矩阵的乘积为同维的单模矩阵。,04级研究生线性系统理论教案,6.7埃尔米特形,多项式矩阵的规范形之一。 Hermite形的特征，见书； 化为Hermite的算法： 只通过一系列的行初等运算即可化为行Hermite形，即 性质： 对多项式矩阵做行（列）初等运算，不改变其Hermite形,04级研究生线性系统理论教案,6.8公因子和最大公因子,一. 公因子的定义 相同列数的两个多项式矩阵间可以定义右公因子(是多项式矩阵).假定N(s)和D(s)列数相同,若 则R(s)称为N(s)和D(s)的右公因子. 相同行数的两个多项式矩阵间可以定义左公因子(是多项式矩阵).假定B(s)和A(s)行数相同,若 则Q(s)称为B(s)和A(s)的左公因子.,04级研究生线性系统理论教案,二. gcd(最大公因子)的定义 gcrd: (1)R(s)是N(s)和D(s)的一个右公因子; (2)R (s)是N(s)和D(s)的任一个其它右公因子R1(s)的左倍式,即R(s)=W(s)R1(s) 则称R(s)是N(s)和D(s)的gcrd. gcld: (1)Q(s)是B(s)和A(s)的一个左公因子; (2)Q (s)是B(s)和A(s)的任一个其它左公因子R1(s)的右倍式,即Q(s)=Q1(s)V(s) 则称Q(s)是B(s)和A(s)的gcld.,04级研究生线性系统理论教案,三.如何求gcd 以gcrd为例.,04级研究生线性系统理论教案,Why:,04级研究生线性系统理论教案,04级研究生线性系统理论教案,三. Gcd 的性质 以gcrd为例 (1)gcrd不唯一. 若R(s)是D(s)和N(s)的gcrd,W(s)是单模矩阵, 则W(s)R(s)也是D(s)和N(s)的gcrd. Why:,04级研究生线性系统理论教案,(2)D(s),N(s)的所有gcrd在非奇异性和单模性上相同,即 若R1(s)是D(s),N(s)的一个gcrd R2(s)也是D(s),N(s)的一个gcrd 则R1(s)非奇异R2(s)非奇异 R1(s)单模R2(s)单模 (3) (4)gcrd R(s)可表示为R(s)=X(s)D(s)+Y(s)N(s) (5)gcrd的多项式元的次数可以高于D(s),N(s)元多项式的次数.,04级研究生线性系统理论教案,6.9 互质性,一. 右互质和左互质 D(s)和N(s)列数相同,可以定义gcrd. 若gcrd为单模阵,则称D(s)和N(s)右互质. A(s)和B(s)行数相同,可以定义gcld. 若gcld为单模阵,则称A(s)和B(s)左互质. 二.右互质判据 判据1:贝佐特等式判据 D(s),N(s)右互质存在X(s),Y(s)多项式矩阵 使X(s)D(s)+Y(s)N(s)=I,04级研究生线性系统理论教案,证明: 必要性:已知D(s),N(s)右互质，证等式成立 充分性：等式成立，证D(s),N(s)右互质 令R(s)为D(s),N(s)的一个gcrd.只要证R(s)单模。,04级研究生线性系统理论教案,判据2：秩判据 判据3：非右互质判据,04级研究生线性系统理论教案,三. Gcrd构造关系式的一个性质,04级研究生线性系统理论教案,6.10 列次数和行次数,一. 次数 多项式的次数： 多项式向量的次数：所有元多项式中，s的最高幂次。 多项式矩阵中，有列次数（列向量的次数）和行次数（行向量的次数）之分。,04级研究生线性系统理论教案,如,04级研究生线性系统理论教案,二. 多项式矩阵的列（行）次表示式 1.列次表示式 上例中的M(s)可表示为 一般地，,04级研究生线性系统理论教案,2.行次表示式,04级研究生线性系统理论教案,6.11 既约性,一. 既约性的定义 此处是对非奇异多项式矩阵定义的，方阵（可推广至非方）。 M(s)列既约： M(s)行既约： 注： 列既约和行既约之间无必然的联系； M(s)为对角阵时，列既约等价于行既约。 二. 既约性判据 如果已求出detM(s),则可利用定义判断； 利用列（行）次表示式,04级研究生线性系统理论教案,三.非既约矩阵的既约化 通过左乘或右乘单模矩阵，即行（列）初等变换实现既约化。 实质：降低行或列的次数 含义：在初等运算下，degdetM(s)不变。 实现既约化以后，次数不能被降低了。,04级研究生线性系统理论教案,6.12 Smith形,一. 史密斯形的特征,04级研究生线性系统理论教案,特征： 二. Smith形的求法 见书。 三. 对Smith形的一些讨论 （1）对给定的多项式矩阵Q(s)，其Smith形唯一。 （变换U(s),V(s)不唯一）,04级研究生线性系统理论教案,(2)若