函数的单调性与反函数(三).ppt

2.5.3 函数的单调性与反函数(三),2019/7/21,2,1.反函数的定义 设函数y=f(x)的定义域、值域分别为A、C.如果用y表示x，得到x=(y)，且对于y在C中的任何一个值，通过x=(y)，x在A中都有惟一确定的值和它对应.那么就称函数x=(y)(yC)叫做函数y=f(x)(xA)的反函数.记作x=f-1(y)一般改写为 y=f-1(x),2.反函数的性质 反函数y=f-1(x)的定义域和值域分别是原函数y=f(x)的值域和定义域,互为反函数的两个函数y=f(x)与y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称,2019/7/21,3,3.函数存在反函数的条件 (1)从值域到定义域按照原函数所确定的对应法则是一个映射,这是函数存在反函数的一个充要条件; (2)严格单调函数是函数存在反函数的一个充分不必要条件.,4.一些注意点 (1)奇函数不一定存在反函数,如f(x)=0(xR); (2)偶函数可能存在反函数,如f(x)=1(x0); (3)ff-1(a)=f-1f(a),2019/7/21,4,1.函数y=3-x-1(x0)的反函数是_ 2.已知函数y=f(x)的反函数f-1(x)=x-1(x0)，那么函数y=f(x)的定义域是_,y=-log3(x+1)(x0),-1，+）,3.函数f(x)=-x2(x(-,-2的反函数是_ 4.已知函数f(x) 的图象关于直线y=x对称,则实数 m的值是_,-1,5.已知函数y=f(x)的反函数为f-1(x)=2x+1，则f(1)等于( ) (A)0 (B)1 (C)-1 (D)4,C,2019/7/21,5,解题分析:本题只需将它看成关于 x 的方程,并解出这个方程即可.,6.求下列函数的反函数： (1) (2)y=x2+2x(x0),2019/7/21,6,【解题回顾】由函数y=f(x)求它的反函数y= f-1(x)的一般步骤是： (1)判断y=f(x)是否存在反函数(但书写时，此步骤可以省略)； (2)若存在反函数，由y=f(x)解出 x=f-1(y); (3)根据习惯，对换x、y，改写为y=f-(x)； (4)根据y=f(x)的值域确定反函数的定义域,6.求下列函数的反函数： (1) (2)y=x2+2x(x0),2019/7/21,7,解题分析:,7.已知函数 ，求 的值,2019/7/21,8,解题分析:,7.已知函数 ，求 的值,2019/7/21,9,【解题回顾】求f-1(a)的值，解一是先求函数f(x)的反函数f-1(x)，再求f-1(a)的值；解二是根据原函数f(x)与它的反函数f-1(x)的定义域与值域间的关系，转化为求方程f(x)=a解的问题,解一是常规解法，解二较简便.,7.已知函数 ，求 的值,2019/7/21,10,8.若函数f(x)=ax+k的图象过点A(1，3)，且它的反函数y=f-1(x)的图象过点B(2，0)，求f(x)的表达式.,返回,解题分析：y=f-1(x)的图象过点B(2,0)y=f(x)的图象过点B(0,2),【解题回顾】若函数f(x)存在反函数f-1(x)，则f(a)=b,f-1(b)=a.,2019/7/21,11,9已知函数 ，求它的反函数， 并作出反函数的图象,解题分析:分段函数,要求它的反函数,只需在区间0,1与-1,0)上分别求出x即可.,所求函数的反函数是,2019/7/21,12,9已知函数 ，求它的反函数， 并作出反函数的图象,返回,所求函数的反函数是,x,y,O,在涉及到反函数问题时，要特别注意原函数与反函数的定义域与值域之间的关系，以及它们图象间的关系.,。,。,2019/7/21,13,误解分析,返回,在涉及到反函数问题时，要特别注意