高中数学导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.2函数的极值与导数课件新人教A版.pptx

主题 函数极值的概念及求法 观察图象回答下面问题,1函数在点xa的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？ 提示：函数在点xa的函数值比它在点xa附近的其他点的函数值都小 .,2f(a)等于多少？在点xa附近，函数的导数的符号有什么规律？ 提示：f(a)0，在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.,3函数在点xb处的情况呢？ 提示：函数在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0，且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.,结论：极大(小)值的概念 (1)函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa 附近其他点的函数值都小，且_,在点xa附 近的左侧_，右侧_，则a叫做极小 值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值.,f(a)0,f(x)0,f(x)0,(2)函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb 附近其他点的函数值都大，且_,在点xb附 近的左侧_，右侧_，则b叫做极大 值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值.,f(b)0,f(x)0,f(x)0,【微思考】 1.函数的极值可以在区间端点处取得吗？ 提示：不可以，因为在端点处不能反映两侧的函数值的变化情况，况且端点处的导数不一定为0.,2.当f(x0)=0 时，x=x0是否一定为y=f(x)的极值点？ 提示：不一定，只有同时满足x0左右导数符号不一致时才称x0为极值点.,3.函数的极大值一定大于极小值吗？ 提示：不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.,【预习自测】 1.函数yf(x)的导数y与函数值和极值之间的关系为( ) A.导数y由负变正,则函数y由减变为增,且有极大值 B.导数y由负变正,则函数y由增变为减,且有极大值,C.导数y由正变负,则函数y由增变为减,且有极小值 D.导数y由正变负,则函数y由增变为减,且有极大值 【解析】选D.由导数y与函数值的变化情况以及极值之间的关系，可知选项D正确.,2.(2016陕西高考)设函数 ，则( ) A. 为f(x)的极大值点 B. 为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点,【解析】选D.函数f(x)的定义域为(0,+)， .当x=2时，f(x)=0； 当x2时，f(x)0，函数f(x)为增函数； 当0x2时，f(x)0，函数f(x)为减函数， 所以x=2为函数f(x)的极小值点.,3.如图是导函数y=f(x)的图象，函数y=f(x)的极大值点是 ,极小值点是 .,【解析】因为在点x2左侧导数图象在x轴上方，导数为正，在点x2右侧附近导数图象在x轴下方，导数为负，故点x2为极大值点，因为在点x4左侧导数图象在x轴下方，导数为负，在点x4右侧附近导数图象在x轴上方，导数为正，故点x4为极小值点. 答案：x2 x4,4.求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.(仿照教材P94例4的解析过程) 【解析】f(x)=3x2-6x-9. 解方程3x2-6x-9=0，得x1=-1，x2=3. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：,由表可知：当x=-1时，f(x)有极大值f(-1)=10. 当x=3时，f(x)有极小值f(3)=-22.,类型一 求函数的极值 【典例1】求函数 的极值. 【解析】函数 的定义域为(0,+)， 且 ,令f(x)=0，得x=e，,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如表： 故当x=e时，函数取得极大值 ，无极小值.,【方法总结】求可导函数f(x)的极值的步骤 (1)定区间求导：确定函数的定义区间，求导数f(x). (2)解方程：求方程f(x)=0的根. (3)列表：用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格.,(4)检测判断：检测f(x)在方程根左右两侧的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.,【巩固训练】1.求函数 的极值 【解析】函数的定义域为(，0)(0，) ，令y0，得x2.,当x变化时，y,y的变化情况如下表： 由表知：当x2时，y极大值8； 当x2时，y极小值8.,2.设函数f(x)x3+ax29x的导函数为f(x)，且f(2)15. (1)求函数f(x)的图象在x0处的切线方程. (2)求函数f(x)的极值,【解析】(1)因为f(x)3x22ax9， 因为f(2)15，所以124a915， 所以a3.所以f(x)x33x2 9x， 所以f(x)3x26x9， 所以f(0)0，f(0)9， 所以函数在x0处的切线方程为y9x.,(2)令f(x)0，得x3或x1.当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：,即函数f(x)在(，3)上单调递增，在(3,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当x3时，f(x)有极大值27，当x1时，f(x)有极小值5.,【补偿训练】求函数 的极值. 【解析】因为函数的定义域为R， 所以 . 令y=0，得 ， 解得x=-1或x=1.,当x变化时，y,y的变化情况如表： 故当x=-1时，函数有极小值，且y极小值=f(-1)=-3； 当x=1时，函数有极大值，且y极大值=f(1)=-1.,类型二 利用函数极值求参数的值 【典例2】(2016四川高考)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点，则a=( ) A.-4 B. -2 C.4 D.2,【解题指南】求出f(x)，解出方程f(x)=0的根，再根据不等式f(x)0,f(x)0的解集得出函数的极值点.,【解析】选D. f(x)=3x212=3(x2)(x+2)， 令f(x)=0，得x=2或x=2， 易知f(x)在(2,2)上单调递减， 在(2,+)上单调递增， 故f(x)的极小值为f(2)，所以a=2.,【方法总结】 (1)求参数值：利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.,(2)检验：因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.,【巩固训练】已知函数 在x=1处 有极值 ，求b,c的值. 【解析】f(x)=x2+2bx+c, f(1)=1+2b+c=0, 因为f(x)在x=1处有极值 ， 所以 ，,解得b=1,c=1或b=1,c=3, 经验证b=1,c=1不满足题意，舍去. 所以b=1,c=3.,【补偿训练】已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，且当 x=-1时取得极大值7，当x=3时取得极小值，试求函数f(x)的极小值，并求a,b,c的值.,【解析】f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b. 因为x=-1时函数取得极大值，x=3时函数取得极小值， 所以-1,3是方程f(x)=0的根，即为方程3x2+2ax+b=0 的两根. 故 解得,所以f(x)=x3-3x2-9x+c. 因为x=-1时取得极大值7, 所以(-1)3-3(-1)2-9(-1)+c=7, 所以c=2， 所以函数f(x)的极小值为f(3)=33-332-93+2=-25.,类型三 函数极值的综合应用 【典例3】(1)函数f(x)=xex在其极值点处的切线方程 为 . (2)已知函数f(x)x33ax1(a0)若函数f(x)在 x1处取得极值，直线ym与yf(x)的图象有三个 不同的交点，求m的取值范围,【解题指南】(1)先求出极值，再求出切点坐标，然后利用导数求出切线斜率，最后得切线方程. (2)先由已知条件求出a值，确定f(x)，再由直线ym与yf(x)的图象有三个不同交点，利用数形结合求出m的范围.,【解析】(1)f(x)=ex+xex=ex(1+x)， 令f(x)=0得x=-1.易判断x=-1为极值点， 因为 , 所以切点为 .因为切线斜率为0， 所以所求得切线方程为 . 答案:,(2)因为f(x)在x1处取得极值， 所以f(1)3(1)23a0，所以a1. 所以f(x)x33x1，f(x)3x23， 由f(x)0解得x11，x21. 当x1时，f(x)0； 当1x1时，f(x)0；,当x1时，f(x)0. 所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x1处取得极大值f(1)1，在x1处取得极小值f(1)3. 作出f(x)的大致图象如图所示：,因为直线ym与函数yf(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(3,1),【延伸探究】 1.若本例(2)“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？,【解析】由例(2)解析可知:当m3或m1时，直线 ym与yf(x)的图象有两个不同的交点；当m3或m1时，直线ym与yf(x)的图象只有一个交点.,2.若本例(2)中条件改为“已知函数f(x)=-x3+ax2-4 在 处取得极值”，其他条件不变，求m的取值范围. 【解析】由题意可得f(x)=-3x2+2ax，由 , 可得a=2，所以f(x)=-x3+2x2-4， 则f(x)=-3x2+4x. 令f(x)=0，得x=0或 ，,当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表 因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，所以m的取值范围是 .,【方法总结】 1.三次函数有极值的充要条件 三次函数y=ax3+bx2+cx+d(a0)有极值导函数f(x)=3ax2+2bx+c=0的判别式=4b2-12ac0.,2.三次函数单调性与极值(设x10,则f(x)在R上是增函数; 若a0,则f(x)在R上是减函数.,(2)当0时,若a0,则f(x)的增区间为(-,x1)和(x2,+),减区间为(x1,x2),f(x1)为极大值,f(x2)为极小值;若a0,则f(x)的减区间为(-,x1)和(x2,+),增区间为(x1,x2),f(x1)为极小值,f(x2)为极大值.(如图所示),【补偿训练】已知函数f(x)=-x2+8x, g(x)=6ln x+m. 是否存在实数m,使得y=f(x)的图象 与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在, 求出m的取值范围;若不存在,说明理由.,【解析】函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有 三个不同的交点,即函数 的图象与x轴 的正半轴有且只有三个不同的交点.因为 ,所以 ，,当x(0,1)时,(x)0,(x)是增函数; 当x(1,3)时,(x)0,(x)是减函数; 当x(3,+)时,(x)0,(x)是增函数; 当x=1,或x=3时,(x)=0.,所以(x)极大值=(1)=m-7, (x)极小值=(3)=m+6ln 3-15.因为当x充分接近0 时,(x)0,当x充分大时,(x)0. 所以要使(x)的