高中数学复习数系的扩充与复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念课件新人教A版.pptx

主题1 复数的概念 1.方程x2=1有解吗?解是什么?方程x2+1=0在实数范围内有解吗? 提示:方程x2=1有解,解是x=1,方程x2+1=0在实数范围内没有解.,2.若有一个新数i满足i2=-1,试想方程x2+1=0有解吗? 提示:有解(x=i),但不在实数范围内. 3.添加i之后,i与原来的实数之间进行加法乘法运算的时候,会产生怎样的新数? 提示:若i与实数b相乘再与实数a相加则可得到形式为a+bi的新数.,结论: 1.复数的定义 形如_的数叫做复数,其中i叫做_ _,满足i2=_,全体复数所成的集合C叫做 _.,a+bi(a,bR),虚,数单位,-1,复数集,2.复数的表示 复数通常用字母z表示,即z=_,这一表 示形式叫做复数的_,a与b分别叫做复数z的 _与_.,a+bi(a,bR),代数形式,实部,虚部,【微思考】 1.两个复数一定能比较大小吗? 提示:不能. 2.复数a+bi的实部是a,虚部是b吗? 提示:只有a,b都是实数时才是.,主题2 复数的相等和分类 1.复数z=a+bi(a,bR)中实部与虚部分别为零时表示什么数? 提示:虚部b=0时,z=a是一个实数; 虚部b0时,z=a+bi是一个虚数; 虚部b0,实部a=0时,z=bi是纯虚数.,2.实数集R与复数集C有什么关系? 提示:用文字语言描述:实数集R是复数集C的真子集,即R C. 用图形语言描述:,结论: 1.复数相等 设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di_.,a=c且b=d,2.复数的分类,【微思考】 怎样判断复数在什么条件下是实数、虚数、纯虚数? 提示:将复数化成z=a+bi(a,bR)的形式,再按分类判断.,【预习自测】 1.下列命题是假命题的是 ( ) A.-i不是负数 B. i不是无理数 C.如果a是实数,那么ai是虚数 D. 不是分数,【解析】选C.若a=0则ai=0是实数.,2.复数-3i的虚部是 ( ) A.0 B.-3 C.i D.-3i 【解析】选B.-3i=0+(-3)i,对应a+bi(a,bR)的形式,实部a=0,虚部b=-3.,3.若x,yR,z=x+yi是虚数,则有 ( ) A.x=0,yR B.x0,yR C.xR,y=0 D.xR,y0 【解析】选D.z=x+yi是虚数,只需y0即可.,4.设i为虚数单位,若关于x的方程 x2-(2+i)x+1+mi=0(mR)有一实根为n,则m=_.,【解析】关于x的方程x2-(2+i)x+1+mi=0(mR)有一 实根为n,可得n2-(2+i)n+1+mi=0. 所以 所以m=n=1. 答案:1,类型一 复数的概念 【典例1】(1)(2017成都高二检测)已知复数z=(a-1)-(2-b)i的实部和虚部分别是2和1,则实数a,b的值分别是_.,(2)已知log2(x2-3x-2)+ilog2(x2+2x+1)1,则实数x的取值集合为_.,【解题指南】(1)根据实部、虚部的值列方程求解即可. (2)由复数的概念知任意两个虚数是不能比较大小的,只有两个实数才能比较大小,因此一经出现与复数有关的不等式,不等式的两边的数必定是实数.本题中不等式右边是实数1,因此左边必定为实数,即log2(x2+2x+1)=0,从而不等式为log2(x2-3x-2)1.,【解析】(1)由题意得:a-1=2,-(2-b)=1,所以a=3,b=3. 答案:3,3 (2)由题意 解得x=-2,所以实数x的取 值集合为-2. 答案:-2,【方法总结】判断与复数有关的命题是否正确的策略 (1)复数的代数形式: 若z=a+bi,只有当a,bR时,a才是z的实部,b才是z的虚部,且注意虚部不是bi,而是b.,(2)不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分. (3)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这类题时,可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法进行解答.,【巩固训练】判断下列命题的真假. (1)复数a+bi不是实数. (2)若复数z=3+bi0(bR),则b=0.,【解析】(1)假命题,因为当aR且b=0时,a+bi是实数. (2)真命题,只有实数才可以比较大小,既然有3+bi0,则说明z=3+bi为实数,故b=0.,【补偿训练】设a,bR,i是虚数单位,则“ab=0”是 “复数a-bi为纯虚数”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,【解析】选B.若复数a-bi为纯虚数,则a=0且b0,故ab=0.而由ab=0不一定能得到复数a-bi是纯虚数,故“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的必要不充分条件.,类型二 复数的分类 【典例2】设 (1)若z是虚数,求m的取值范围. (2)若z是纯虚数,求m的值.,【解题指南】(1)先根据虚数的概念,由z是虚数得其虚部不为0;再根据对数的性质及z是虚数得到m的不等式组,解不等式组求出m的范围. (2)因z是纯虚数,由其虚部不为0,实部为0得到m的不等式组,并求出m的值.,【解析】(1)因为z是虚数,故其虚部log2(5-m)0, m应满足的条件是 解得1m5,且m4.,(2)因为z是纯虚数,故其实部 (m-1)=0,虚部 log2(5-m)0, m应满足的条件是 解得m=2.,【延伸探究】 本例条件不变,当m为何值时,z为实数? 【解析】要使z为实数,故其虚部log2(5-m)=0,m应满足 的条件是 解得m=4.,【方法总结】 1.解决复数分类问题的方法与步骤 (1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,bR)的形式,以确定实部和虚部.,(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可. (3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,bR),z为实数b=0;z为虚数b0;z为纯虚数a=0且b0.,2.复数分类的应用 (1)参数自身:判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值使表达式有意义,其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,解答后进行验算是很必要的.,(2)整体与局部:对于复数z=a+bi(a,bR),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之一.,【巩固训练】实数k为何值时,复数z=(1+i)k2- (3+5i)k-2(2+3i)分别是(1)实数.(2)虚数.(3)纯虚数.(4)零.,【解析】由z=(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i. (1)当k2-5k-6=0时,zR,即k=6或k=-1. (2)当k2-5k-60时,z是虚数,即k6且k-1.,(3)当 时，z是纯虚数,解得k=4. (4)当 时，z=0,解得k=-1.,类型三 复数的相等 【典例3】(1)设复数z1=(x-y)+(x+3)i,z2=(3x+2y)-yi,若z1=z2,实数x=_,y=_. (2)已知关于x的方程x2+(1-2i)x+(3m-i)=0有实数根,求实数m的值及方程的实数根.,【解题指南】(1)根据实部与实部相等,虚部与虚部相等,列方程组求解. (2)设出方程的实数解,代入原式整理为a+bi=0(a,bR)的形式解决.,【解析】(1)由复数相等的充要条件得 解得 答案:-9 6,(2)设a是原方程的实数根, 则a2+(1-2i)a+(3m-i)=0, 即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0+0i, 所以a2+a+3m=0且2a+1=0,所以a=- 且 +3m=0, 所以m= . 所以m= ,方程的实数根为x=- .,【延伸探究】 1.若将本例(2)中的方程改为:x2+mx+2xi=-1-mi如何求解?,【解析】设方程的实数根为x0,代入方程,由复数相等 的定义,得 解得 或 因此,当m=-2时,原方程的实数根为x=1, 当m=2时,原方程的实数根为x=-1.,2.若将本例(2)中的方程改为3x2- x-1=(10-x-2x2)i, 如何求解?,【解析】设方程的实数根为x0,则原方程可变为 - x0-1=(10-x0-2 )i,由复数相等的定义,得: 解得 或 因此,当m=11时,原方程的实数根为x=2; 当m=- 时,原方程的实数根为x=- .,【方法总结】复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解. (2)根据复数相等的条件,将复数问题转化为实数问题,为应用方程思想提供了条件,同时这也是复数问题实数化思想的体现.,(3)如果两个复数都是实数,可以比较大小,否则是不能比较大小的.,【补偿训练】1.实数x,y满足(1+i)x+(1-i)y=2,则xy的值是 ( ) A.1 B.2 C.-2 D.-1,【解析】选A.若实数x,y满足式子(1+i)x+(1-i)y=2, 则式子里的虚部为0