矩阵的概念和运算.ppt

1,7.2 矩阵的概念和运算,主要内容： 一.矩阵的概念. 二.矩阵的加法和减法. 三.数与矩阵相乘. 四.矩阵与矩阵相乘. 五.利用矩阵表示线性方程组.,2,由mn个数排成的m行n列数表,称为一个m行n列矩阵，简称为mn矩阵其中aij表示第i行第j列处的元素，i称为aij的行指标，j称为aij的列指标,一、 矩阵的概念,定义1,3,矩阵通常用A，B，C大写字母表示，若需指明矩阵的行数和列数常写为或例如：,为一个23矩阵,在以后的讨论中，还会经常用到一些特殊的矩阵，下面分别给出他们的名称 ,元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作O或0，如：,4,当m = n时，称A为n阶矩阵（或n阶方阵）,只有1行（1n）或1列（m1）的矩阵，分 别称为行矩阵和列矩阵，如：,5,若方阵的元素 aij=0（ij），则称A为对角矩 阵，aii（i=1,2,n） 称为A的对角元，如,为二阶对角矩阵,对角元全为数1的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位 矩阵记为In,6,形如,的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵,7,把矩阵的行与列依次互换，得到的矩阵称为矩阵A 的转置矩阵即矩阵,的转置矩阵,一个m行n列矩阵A的转置矩阵是一个n行m列的矩阵,8,那么就称这两个矩阵相等 .,例1 已知,而且A=B，求a, b, c, d,解 根据矩阵相等的定义， 可得方程组,9,解得a=5, b=2, c=2, d=-1， 即当a=5, b=2, c=2, d=-1时A=B,应当注意的是：矩阵与行列式是两个不同 的概念，行列式是一个算式，计算结果是一个 数，而矩阵是有数构成的一个数表；记法也不 同，行列式用的是两条竖线，而矩阵用的是一对 圆括号或中括号,10,显然，两个m行n列的矩阵相加（减）得到的和（差）仍是一个m行n列的矩阵应注意，只有当两个矩阵的行数与列数分别相同时，它们才能作加减运算,容易验证，矩阵的加法运算满足以下规律：,（）交换律：A+B=B+A；,（）结合律：(A+B)+C=A+(B+C),二、 矩阵的加法和减法,11,例2 已知,求A+AT和A-AT,12,13,定义 一个数k与一个m行n列矩阵相乘，它们的乘积为kA，并且规定Ak=kA例如，设,三、 数与矩阵相乘,14,设甲、乙两家公司生产、三种型号的计算机，月产量（单位：台）为,如果生产这三种型号的计算机的每台的利润（单位：万元/台）为,四、 矩阵与矩阵相乘,15,则这两家公司的月利润（单位：万元）应为,可见，甲公司每月的利润为291万元，乙公司的 利润为341万元,矩阵与矩阵乘法的一般定义如下：,则由元素,16,构成的mn矩阵,称为矩阵A与B的乘积，记为C=AB,乘积C 中第i行第j列元素Cij等于A的第i行元素与B 的第j列 元素对应乘积之和，即,A的列数必须等于B的行数，A与B才能相乘；,乘积C的行数等于A的行数，C的列数等于B的列数；,由定义可知：,17,AD无意义,18,19,20,由上例可知，单位矩阵I在矩阵的乘法中与数1在 数中的乘法中所起的作用相似,若两个矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B是可交换的,由于矩阵乘法不满足交换律，所以在进行运算 时，千万要注意，不能把左、右次序颠倒,矩阵乘法满足如下运算规律：,（）结合律：(AB)C=A(BC)；,（）分配律： A (B+C) =AB+ AC，(B+C) A = BA + CA；,（）k(AB)= (kA) B=A (kB)，k为任意常数,21,因为AB=BA，所以A与B可交换 .,22,称为矩阵A的k次幂矩阵A的运算满足,由于矩阵乘法一般不满足交换律，因此一般来说,23,24,对于线性方程组,五、利用矩阵表示线性方程组,25,它是一个m行一列的矩阵，根据矩阵相等的定义可得,所以方程组可以用矩阵的乘法来表示方程组 中系数组成的矩阵A称为系数矩阵，,26,方程组中系数与常数组成的矩阵,称为增广矩阵，记为,27,例7 利用矩阵表示线性方程组,28,因为，所以方程