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第二章: 点、直线、平面之间的位置关系,公理1 ：如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内。,公理2 经过不在同一条直线上的三点有且只有一个平面.,（公理2的三个推论）,公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。,B,D,A,C,E,F,H,G,异面直线所成角的定义：,直线a、b是异面直线.经过空间任意一点O，分 别引直线a1a，b1b. 我们把直线a1和b1所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,注: 1.异面直线a和b所成角的范围：,2.点O常取在两条异面直线中的一条上，特别是这一直线的某些特殊点，如 “端点”或“中点”处.,异面直线的定义: 不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。,E,G,F,练习2.如图所示，点A是等边三角形BCD所在平面外一点，AB=AC=AD=BC=a, E、F分别在AB、CD上，且,C,一. 直线和平面的位置关系 直线在平面内有无数个公共点 直线与平面相交有且只有一个公共点 直线与平面平行没有公共点,直线与平面平行的判定定理：,若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.,简述为：线线平行线面平行,简述为“线面平行，则线线平行”.,符号语言:,线面平行性质定理: 一条直线和一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.,一、两个平面的位置关系,两个平面的位置关系只有两种,两个平面平行没有公共点；记为,两个平面相交有一条公共直线,记为,二、两个平面平行的判定,判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行,图形语言：,符号语言：,两个平面平行的性质,性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平 面相交，那么它们的交线平行,图形语言：,符号语言：,如图:M,N分别是AB,PC的中点,求证: MN/面PAD,H,练习,思路：在平面PAD内找MN平行线。,1、直线和平面垂直的定义,定义 如果直线l 与平面内的任意一条直线都垂直， 则称直线 l 和平面互相垂直。,直线l 平面的垂线,平面 直线l的垂面,公共点P垂足,记作： l ,2.直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。,图形语言：,符号语言：,符号语言：若ab，a，则b,b,a,推论：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。,垂直于同一平面的两直线平行.,线面垂直性质定理：,符号语言：,一.直线和平面所成角,1.斜线 2.斜足 3.斜线在平面内的射影,与平面相交,但不垂直的直线叫做平面的斜线,斜线与平面相交的交点,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线,过垂足和斜足的直线,平面的斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做直线和平面所成的角.,斜线和平面所成角(即PAO)的范围是多少呢？,（00，900）,直线和平面所成角(即PAO)的范围是多少呢？,00，900,注: 1.若直线垂直平面,则直线和平面所成的角为90,2.若直线和平面平行,或直线在平面内,则直线和平面所成的角为0 ,三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一 条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线定理的逆定理,已知：PA，PO分 别是平面 的垂线和斜 线，AO是PO在平面 的射影,a ,a PO 求证：a AO,平面内的一条直线，把这个平面分成两部分， 每一部分都叫做半平面。,从一条直线引出的两个半平面所组成的图形 叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱， 这两个半平面叫做二面角的面。,1、半平面：,2、二面角：,半平面,半平面,半平面及二面角的定义,面,面,棱 l,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.,二面角平面角的定义,1）定义法：过二面角棱上点P；,2）三垂线法：过二面角一个半平面内一点P；,B,P,A,作二面角的平面角的常用方法：,3）垂面法：点P在二面角内时,经过P点分别作两个面的垂线，垂线确定的平面与二面角的两个面的两条交线就组成了二面角的平面角.,如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直,若 AB，AB, 则 .,一、两个平面垂直的判定定理：,平面与平面垂直的性质定理1,b,两个平面垂直,则一个