《振动理论与分析》PPT课件.ppt

Computation for differential equation,Computation for differential equation,1,Computation for differential equation,Computation for differential equation,% main program t0 = 0; tN= 5; y0 = 1 0; t, y=ode45(vib, t0 tN,y0); subplot(1,2,1); plot(t,y); subplot(1,2,2); plot (y(:,1),y(:,2); %sub_function function ydot= vib(t,z) x=z(1); xd=z(2); xdd=-1/3*(8*xd+100*x); ydot=xd;xdd;,Example1,Input parameters Initial time t0 End time tN,Computation for differential equation,x(t),dx/dt,x(t),dx/dt,Response time history,Phase diagram,example2,% example 2 t0 = 0; tN= 5; tol= 1e-7; y0 = 0 0; t, y=ode45(vib2, t0 tN,y0); subplot(1,2,1); plot(t,y); subplot(1,2,2); plot (y(:,1),y(:,2);,function ydot= vib2(t,z) x=z(1); xd=z(2); xdd=-1/3*(8*xd+100*x-100); ydot=xd;xdd;,Step response,Example 2 STEP RESPONSE,example3,t0 = 0; tN= 20; tol= 1e-7; y0 = 0 0; t, y=ode45(vib3, t0 tN,y0); subplot(1,2,1); plot(t,y); subplot(1,2,2); plot (y(:,1),y(:,2);,function ydot= vib3(t,z) x=z(1); xd=z(2); xdd=-1/3*(8*xd+100*x-cos(2*pi*0.5*t); ydot=xd;xdd;,example3,xdd=-1/3*(8*xd+100*x-cos(0.5*t);,Transit component,Steady response,Example3 Harmonic response,Example4 nonlinear vibration,t0 = 0; tN= 20; tol= 1e-7; y0 = 0 0.05; t, y=ode45(vdpol, t0 tN,y0); subplot(1,2,1); plot(t,y); subplot(1,2,2); plot (y(:,1),y(:,2);,function ydot= vdpol(t,y) ydot = zeros(2,1); % a column vector ydot(1) = -y(1)*(y(2)2-1)-y(2); ydot(2) = y(1);,example4,An example of a stiff system is provided by the van der Pol equations in relaxation oscillation.,See p455,Example 4 Nonlinear vibration,Lorenz equation,Lorenz equation,% lorenz 方程求解 %参数：SIGMA, R, and B. %SIGMA和B的标准值为 ：10和8/3 %lorenzf.m 定义了Lorenz方程 global SIGMA R B SIGMA=10.; R=28.; B=8./3.; % 数据 x0=10 10 10; % 开始时间和结束时间 t0=0; tf=40; %ode45求解 tout, xout = ode45(lorenzf, t0, tf, x0); % 画图 figure(1); hp=plot3(xout(:,1), xout(:,2), xout(:,3); set(hp,LineWidth,0.1); box on; xlabel(x,FontSize,14); ylabel(y,FontSize,14); zlabel(z,FontSize,14); axis(-20 20 -40 40 0 60); set(gca,CameraPosition,200 -200 200,FontSize,14,Lorenz equation,function u = lorenzf(t,x) global SIGMA R B u = SIGMA*(x(2)-x(1), x(1)*(R - x(3) - x(2), x(1)*x(2) - B*x(3);,Solution of Lorenz equation,Lorenz吸引子,蝴蝶效应,蝴蝶效应（The Butterfly Effect）,由美国气象学家洛伦兹1963年提出。 事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，都将可能会引起结果的极大差异。 蝴蝶效应的来历 美国气象学家洛伦兹（Lorenz）1963年提出一篇论文，名叫决定论的非周期流，里面根据大气运动的规律，建立了一个简化的数学模型，三变量的自治常微分方程组，也就是著名的Lorenz方程，Lorenz经过研究发现，当这个方程组的参数取某些值的时候，轨线运动会变的复杂和不确定，具有对初始条件的敏感依赖性，也就是初始条件最微小的差异都会导致轨线的行为的无法预测。正是根据数值分析，Lorenz才得出结论说天气的长期预报是不可能的，形象化的说法就是所谓的蝴蝶效应。 这个发现非同小可，以致科学家都不理解，几家科学杂志也都拒登他的文章，认为“违背常理”：相近的初值代入确定的方程，结果也应相近才对，怎么能大大远离呢！,1979年12月，洛伦兹（Lorenz）在华盛顿的美国科学促进会的再一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。 他说，一只南美洲亚马逊河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可能在两周后在美国德克萨斯引起一场龙卷风。其原因在于：蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反映，最终导致其他系统的极大变化。洛伦兹把这种现象戏称做“蝴蝶效应“，意思即一件表面上看来毫无关系、非常微小的事情，可能带来巨大的改变。 “蝴蝶效应”在社会学界用来说明：一个坏的微小的机制，如果不加以及时地引导、调节，会给社会带来非常大的危害，戏称为“龙卷风”或“风暴”；一个好的微小的机制，只要正确指引，经过一段时间的努力，将会产生轰动效应，或称为“革命”。,军事和政治领域中的“蝴蝶效应”,可以用在西方流传的一首民谣对此作形象的说明。这首民谣说： 丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。 马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。,Example6,clc;clear; % example 5.1.1 in p127 M=1 0; 0 2; K=2 -1; -1 2; V,D=eig(K,M); af=(diag(D); Natural_frequency=sqrt(af)/(2*pi) modal_matrix =V DIAG_K=V*K*V,example7,SYS = SS(A,B,C,D) creates a SS object SYS representing the continuous-time state-space model dx/dt = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t),A=0 1 0 0;-10 0 10 0; 0 0 0 1; 1 0 -11 0; B=0; 0 ;0 ;0; C=1 0 0 0; 0 0 1 0; D=0; sys=ss(A,B,C,D); %状态方程 t=0:0.01:12; y,t1,x=initial(sys,0 0 0.05 0,t); %初始条件仿真 plot(t,y); Y1=1 0*y;,example8,clc;clear; M=30.1 0 0 0 0;0 355.3 0 0 0;0 0 211.0 0 0;0 0 0 398.3 0;0 0 0 0 389.3; K=1E6*39.95 -39.95 0 0 0;-39.95 5