方阵的特征值与特征向量1.ppt

,第五章,方阵的特征值与特征向量,5.3 实对称矩阵的对角化,5.2 相似矩阵,5.1 方阵的特征值与特征向量,5.4 应用举例,-2-,5.1 方阵的特征值与特征向量,主要内容:,一.特征值特征向量的定义,二.特征值与特征向量的性质,-3-,引言,矩阵的特征值理论在许多领域都有重要的应用。如：,工程技术中的振动问题和稳定性问题; 经济管理中的主成分分析(PCA); 数学中的微分方程组求解和迭代法的收敛性; 图像(信息)处理中的压缩存取.,其本质就是:,对于一个给定的n阶矩阵A,如果存在的话，如何找？,-4-,定义:设A是n阶方阵, 如果数 和n维非零列向量x满足,则称 为A的特征值, 非零向量x称为A的对应于(或属于)特征值 的特征向量。,把(1)改写为,一.特征值特征向量的定义,-5-,称为 A 的特征多项式，而 称为 A 的特征方程。,由代数基本定理，特征方程在复数范围恰有 n 个根(重根按重数计算)。因此，n 阶方阵在复数范围内恰有 n 个特征值。本章关于特征值、特征向量的讨论永远约定在复数范围内.,-6-,又,二.特征值与特征向量的性质,-7-,求矩阵 的特征值.,两个特征值为,问: 特征向量是实的还是复的?,由定义很容易验证：,-8-,求 A 的特征值.,因此, n 个特征值为,问：对角矩阵,下三角矩阵的特征值为多少？,-9-,求矩阵 A，B 的特征值和所有的特征向量?,解 （对于矩阵A）,-10-,A 的特征值为,对于 ，解方程组,同解方程组为 ，令 ，得基础解系,因此，对应于特征值 的所有特征向量为,-11-,对于 ，解方程组,同解方程组为 ，令,得基础解系,因此，对应于特征值 的所有特征向量为,-12-,(对于矩阵B),B 的特征值为,-13-,对于 ，解方程组,同解方程组为 ，令 ，得基础解系,因此，对应于特征值 的所有特征向量为,-14-,对于 ，解方程组,同解方程组为 ，令 ，得基础解系,因此，对应于特征值 的所有特征向量为,-15-,求方阵的特征值与特征向量的方法和步骤如下：,其非零的通解为对应于,从以上例子可看到：,当一个矩阵的特征值为重根时，对应的线性无关的特征向量的个数不一定等于重根数,-16-,回答问题：,(1) 向量 满足 ,是 A 的特征向量吗？,(2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗?,(3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值_。,，A 有一个特征值为_。,(4) ，A 有一个特征值为_。,可逆, A 的特征值一定不等于_。,(5) A 的特征值与 的特征值有什么关系？,不是,不一定,全不为零,相等,-17-,(6) 一个特征值对应于几个特征向量?,一个特征向量对应几个特征值?,(7) A 的各行元素之和均等于2,则 A 有一个特征值,是_, 它对应的特征向量是_。,特征向量的个数=_。,是 的一个特征值，它对应的最大无关的,只对应一个,2,-18-,设 是方阵 A 的特征值, 对应的一个特征向量,证明,(1) 是 kA 的特征值，对应的特征向量仍为 x。,(2) 是 的特征值，对应的特征向量仍为 x。,(3) 当 A 可逆时， 是 的特征值，对应的,特征向量仍为 x。,证,-19-,推广：,设 是方阵 A 的特征值，,则 是 的特征值。,的特征值。,是,是,思考：,-20-,设3阶矩阵A的三个特征值为,求,解 A的特征值全不为零，故A可逆。,的三个特征值为,计算得,因此，,-21-,定理,设,是方阵A的m个特征值,依次是与之对应的特征向量,证明:,两边左乘A得:,设为C,-22-,证明A的特征值只能取1或2.,设 是A的特征值，则,的特征值为,由于 是零矩阵，其特征值全是零，故,证,例7,所以,书165引理,-23-,小结:,主要介绍了特征值与特征向量的定义;,如何求特征值与特征向量;,特征值与特征向量的性质.,-24-,作业:,第五章,方阵的特征值与特征向量,5.3 实对称矩阵的对角化,5.2 相似矩阵,5.1 方阵的特征值与特征向量,5.4 应用举例,-26-,5.2 相似矩阵,矩阵的相似关系可简化矩阵的计算,简化线性微分,方程组,不仅在理论中起重要作用,在实践中也有广泛,的应用.,主要内容:,一.矩阵相似的定义,二.相似矩阵的性质,三.矩阵可对角化的充要条件,-27-,5.2 相似矩阵,设A，B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使,则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似。对A进行运算 称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵。,定义,特别地，如果A与对角矩阵相似，则称A是可对角化的。,一.相似矩阵的定义,-28-,二.相似矩阵的性质,(1) 相似关系是一种等价关系;,(2) A与B相似, 则r(A)=r(B);,(3) A与B相似, 则 ; 从而A与B有相同的特征值;,(4) A与B相似, 则 ;,(6) A与B相似, 则 与 相似; 其中,(7) A与B相似, 且A可逆, 则 与 相似。,(5) A与B相似, 则 ;,-29-,求x与y和A的特征值。,求a与b。,解 (1),A的特征值等于B的特征值为：,-30-,(2),-31-,三.矩阵可对角化的充要条件,说明：如果A可对角化，它必有n个线性无关的特征向量，就是P的n个列；反之，如果A有n个线性无关的特征向量，把它拼成矩阵P(可逆)，把上面过程逆过来即知A可对角化。,n阶矩阵A可对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。,-32-,n 阶矩阵 A 如有 n 个不同的特征值，则它有 n 个线性无关的特征向量，从而 A 一定可对角化。,于是对于矩阵是否可以对角化,判断如下:,2.如果所有的特征值都是单根,则A一定能对角化,3.如果A的特征值有重根,的基础解系,如果基础解系所含向量,则A可以对角化,且有这些基,础解系排成的矩阵为相似变换矩阵.,-33-,例1,求特征值,求线性无关的特征向量，,即求 的基础解系,判断A是否可对角化,如果可以并求相似变换矩阵.,解:,令,所以A可以对角化.,-34-,n阶矩阵A可对角化的充要条件是A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数。,即: 设,互不同，此时,则 A可对角化的充要条件是,亦即: 的重数 恰好等于它对应的最大无关特征,向量的个数。,简称:几重特征值有几个线性无关的特征向量.,-35-,问 x 为何值时，A 可对角化？,是单重根，恰有一个特征向量(不需讨论)。,是二重根，A可对角化,-36-,例3,可对角化,则x,y应满足的条件是,解:,-37-,例3,设3阶方阵A的特征值为,其对应的特征向量分别为:,解:,-38-,小结:,介绍了相似矩阵;,相似矩阵的性质,矩阵可对角化的充要条件.,-39-,作业:,第五章,方阵的特征值与特征向量,5.3 实对称矩阵的对角化,5.2 相似矩阵,5.1 方阵的特征值与特征向量,5.4 应用举例,-41-,5.3 (实)对称矩阵的对角化,实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必正交.,实对称矩阵的特征值必为实数。,(证明自学),从而特征向量可取到实的。,证,-42-,实对称矩阵必可正交对角化。,即设A是对称矩阵, 则存在正交矩阵Q,使得,实对称矩阵特征值的重数必等于其几何重数.,即等于其对应的最大无关特征向量的个数。,即,-43-,把对称矩阵,正交对角化。,第1步:求特征值。,(特征值必都是实数),-44-,第2步:求线性无关的特征向量。,对 ，解方程组,求得基础解系(即最大无关特征向量),-45-,对 ，解方程组,求得基础解系(即最大无关特征向量),前面的,-46-,第3步:检验重特征值对应的特征向量是否正交, 如果不 正交, 用施密特过程正交化, 再把