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范例3.9 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期,我国第一颗人造卫星绕地球沿椭圆轨道运行，地球的中心处于椭圆的一个焦点上。已知地球半径为RE = 6.378106m，人造卫星距地面的最近高度(即近地点)为h1 = 4.39105m，最远高度(即远地点)为h2 = 2.384106m。卫星在近地点的速度为v1 = 8.10103m/s。具体描绘卫星运动的轨迹？求卫星在远地点的速度v2和运动的周期T。,解析取地球中心为坐标原点，则表示地球圆周的参数方程为,a = (h1 + h2 + 2RE)/2 = (r1 + r2)/2,其中，r1 = RE + h1，r2 = RE + h2。,焦距为c = a - RE h1 = (h2 - h1)/2，,半短轴为,卫星椭圆轨道的半长轴为,x = REcos，y = REsin,椭圆的方程为,其参数方程为,x = acos - c，y = bsin,设卫星的质量为m，卫星在近地点的角动量为L1 = mv1r1，在远地点的角动量为L2 = mv2r2，根据角动量守恒定律可得,行星运动的开普勒第二定律是：行星对太阳的矢径在相等时间内扫过相等的面积。,方法一：用开普勒第二定律求周期。,该定律也适用于卫星绕地球运行的情况dS/dt = C。,根据近地点的速度和距离可计算常数,当卫星运行一圈时，矢径扫过的面积就是椭圆的面积，卫星运动的时间就是一个周期。,椭圆的短半轴可表示为,椭圆的面积为S = ab，,因此卫星的周期为,范例3.9 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期,行星运动的开普勒第三定律是：行星公转周期的平方与它的轨道长半轴的立方成正比。,方法二：用开普勒第三定律求周期。,该定律也适用于卫星绕地球运行的情况T2/a3 = C。,如果卫星的轨道是圆形，长半轴就是圆的半径。,假设一颗卫星绕地球做半径为R0的匀速圆周运动，其周期为T0，则常数C为,假设卫星的质量为m，在绕地球做匀速圆周运动时，根据向心力公式得,其中，G是万有引力常数，ME是地球质量。,范例3.9 我国第一颗人造地球卫星的椭圆轨道和周期,由于 = 2/T0，所以常数为C = 42/GME。,这是一个由地球质量决定的常数，地球质量越大，常数就越小。,我国第一颗人造地球卫星的周期为,我国第一颗人造地球卫星的轨迹是椭圆，在近地点速度最大，在远地点速度最小，只有6.3km/s。,根据开普勒第二定律求出卫星周期约为6850s，根据
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