新第3章逻辑代数基础(用).ppt

引言,第 3 章 逻辑代数基础,逻辑函数及其表示方法,逻辑代数中的基本定律和常用公式,逻辑函数的三个规则,逻辑函数的化简法,本章小结,逻辑代数中的基本运算,返回演示文稿目录,本章目标,1掌握逻辑 代数的基本运算、基本定理、常用公式； 2掌握逻辑函数的真值表、代数式、逻辑图和卡诺图表示方法。掌握最大项、最小项的定义和性质； 3熟悉逻辑函数代数式的标准形式和非标准形式； 4掌握逻辑函数的公式法化简和卡诺图化简。,主要要求：,理解逻辑值 1 和 0 的含义,引言,理解逻辑体制的含义,理解数字信号与数字电路特点,传递、处理模拟 信号的电子电路,传递、处理数字 信号的电子电路,数字电路中典型信号波形,一、数字电路与数字信号,二、数字电路特点,逻辑代数中的 1 和 0 不表示数量大小， 仅表示两种相反的状态。,注意,例如：开关闭合为 1 晶体管导通为 1 电位高为 1 断开为 0 截止为 0 低为 0,逻辑代数中变量和常量规定。,注意,变量称为逻辑变量，习惯用大写字母A、B、C表示。每个逻辑变量的取值只有两种，逻辑0和逻辑1，亦称二值变量。,常量只有0和1,逻辑代数中原变量和反变量规定。,注意,原变量用 A、B、C表示,反变量用 表示,逻辑代数中逻辑体制规定。,注意,数字0和1的技术实现简单。无论何种形式的数字系统（如计算机），都是由一些基本逻辑电路所组成的，而逻辑电路的输入和输出电平，规定只能为高电平或低电平这两种取值，正好可以用“1”和“0”来表征。,数字0和1在数字电路中的实现：,逻辑代数是分析和设计数字电路的基本数学工具，逻辑代数研究的内容就是输入变量与输出变量之间的逻辑关系。,如图 3位二进制译码器逻辑电路，如何建立输入变量与输出变量之间的逻辑关系？,思考,主要要求：,掌握逻辑代数的常用运算。,掌握逻辑代数的常用符合逻辑运算。,3.1 逻辑代数中的基本运算,掌握逻辑代数的常用逻辑符号。,3.1.1 三种基本逻辑函数及运算,1. 与逻辑,决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生,逻辑表达式 Y = A B 或 Y = AB,与门 (AND gate),有 0 出 0；全 1 出 1,开关 A 或 B 闭合或两者都闭合时，灯 Y 才亮。,2. 或逻辑,决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。,有 1 出 1 全 0 出 0,逻辑表达式 Y = A + B,或门 (OR gate),1,3. 非逻辑,决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。,1,非门(NOT gate) 又称“反相器”,三种基本 逻辑符号对照,3.1.2常用复合逻辑运算,由基本逻辑运算组合而成,相异出 1 相同出 0,相同出 1 相异出 0,注意：异或和同或互为反函数，即,例 试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。,解：,Y1,0 1 1 0 0 1 1 0,0 0 1 1 0 0 1 1,Y2,Y3,逻辑符号对照,国家标准,曾用标准,美国标准,3.2 逻辑代数中的基本定律和常用公式,主要要求：,掌握逻辑代数的基本定律和常用公式。,了解逻辑代数的重要规则。,3.2.1基本定律,交换律 A + B = B + A A B = B A 结合律 (A + B) + C = A + (B + C) (A B) C = A (B C) 分配律 A (B + C) = AB + AC,A + BC = (A + B) (A + C),普通代数没有！,推广公式：,例 证明等式 A + BC = (A + B) (A + C),解：,真值表法,公式法,右式 = (A + B) (A + C),用分配律展开,= AA,+ AC,+ BA,+ BC,= A + AC + AB + BC,= A (1 + C + B) + BC,= A 1 +BC,= A + BC,0,0,0,0,A + AB = A,A + AB = A (1 + B) = A,3.2.2 常用公式,A + AB = A,推广公式：,思考：(1) 若已知 A + B = A + C，则 B = C 吗？,(2) 若已知 AB = AC，则 B = C 吗？,2.3.2 常用公式,主要要求：,理解逻辑函数的定义。,3.3 逻辑函数,理解逻辑函数的约束条件。,将逻辑变量作为输入，将运算结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的值便被唯一的确定下来。这种输出与输入之间的逻辑关系，称为逻辑函数。记为：,3.3.1 逻辑函数的定义,这里的A、B、C、D为逻辑自变量或逻辑变量，Y为逻辑因变量或逻辑函数，F为某种对应的逻辑关系。,与普通代数比较,逻辑代数中函数的定义与普通代数中函数的定义极为相似。与普通代数中函数的概念相比，逻辑函数具有它自身的特点：,某一逻辑函数，如果逻辑变量的取值没有限制，该逻辑函数称为完全描述的逻辑函数。,3.3.2 逻辑函数的约束条件,如果逻辑变量的某些取值组合不可能出现，或某些取值组合使逻辑函数值不唯一，该逻辑函数称为非完全描述的逻辑函数或带约束条件的逻辑函数。对应的这些取值组合称为该逻辑函数的约束条件。,例如：两变量逻辑函数，变量A、B取值的全部组合有 （0，0）、（0，1）、（1，0）、（1，1）四种。假如A、B的（1，1）组合不可能出现，或A、B的（1，1）组合使函数值不唯一，则称A、B的（1，1）组合为逻辑函数的约束条件。,主要要求：,理解并掌握逻辑函数的建立和表示方法。,2.4 逻辑函数的表示,熟悉真值表、逻辑式、卡诺图和逻辑图的特点及其相互转换。,真值表是描述所有变量的取值组合与对应的逻辑函数值的一种表格形式，它由左右两部分组成，左边一栏列出所有变量的取值组合，右边一栏是变量取值组合对应的逻辑函数值。列表时，n个变量的取值组合按n位二进制数递增的方式列出。有约束条件的逻辑函数，约束条件对应的逻辑函数值，可用符号“”来表示。逻辑函数的真值表是唯一。,3.4.1 真值表,在数字系统中，真值表能直观、明了地反映输出与输入逻辑变量的对应关系，是一种十分有用的工具。,逻辑函数常采用真值表、逻辑函数式、卡诺图和逻辑图等表示。,0,0,4 个输入变量有 24 = 16 种取值组合。,【例3-1】举重比赛中有三个裁判员，规定只要两个或两个以上的裁判员认可，则试举成功，否则试举失败。试给出该“举重判决”问题的真值表。,解：三个裁判员作为三个输入变量，分别用A、B、C表示，取1表示裁判员认可，取0表示裁判员否决。用Y作为输出的逻辑函数，1表示试举成功， 0表示试举失败。则 Y与A、B、C之间的逻辑关系的真值表。,逻辑代数式由与、或、非三种基本逻辑运算按不同的方式组成的表达式。,3.4.2 逻辑代数式,上述各式中：,逻辑函数的代数式不是唯一的。根据表达式中变量按与、或、非三种基本逻辑运算组成不同的复合运算顺序和规律，一般分为标准式和非标准式两大类。其中标准式主要有标准与或式和标准或与式两种。,1逻辑函数的标准与或式最小项表示式,n 个变量有 2n 种组合，可对应写出 2n 个乘积 项，这些乘积项均具有下列特点：包含全部变量， 且每个变量在该乘积项中 (以原变量或反变量)只 出现一次。这样的乘积项称为这 n 个变量的最小 项，也称为 n 变量逻辑函数的最小项。,（1） 最小项的定义和编号,如何编号？,如何根据输入变量组 合写出相应最小项？,例如,3 变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个,将输入变量取值为 1 的代以原变量，取值为 0 的代以反变量，则得相应最小项。,简记符号,例如,（2) 最小项的基本性质, 不同的最小项，使其值为 1 的那组变量取值也不同。, 对于变量的同一组取值，任意两个最小项的乘积为 0。, 对于变量的同一组取值，全体最小项的和为 1。,(3) 逻辑函数的标准与或式,全部由最小项相加构成的与或逻辑式称为标准与或式，又称为最小项表达式。,标准与或式中输入变量的排列顺序非常重要，排列顺序一旦确定，就不能任意改变，否则会造成表达式错误。排列顺序一般采用英文字母的自然排列顺序，不能省略。,简写形式,(4) 逻辑函数展开成最小项表达式 方法：先变换成与或表达式，然后将各与项中所缺的变量逐步补齐。任何逻辑函数都有惟一的最小项表达式。,n 个变量有 2n 种组合，可对应写出 2n 个相加 项，这些相加项均具有下列特点：包含全部变量， 且每个变量在该相加项中 (以原变量或反变量)只 出现一次。这样的相加项称为这 n 个变量的最大 项，也称为 n 变量逻辑函数的最大项。,（1） 最大项的定义和编号,2逻辑函数的标准或与式最大项表示式,如何编号？,如何根据输入变量组 合写出相应最小项？,例如,3 变量逻辑函数的最大项有 23 = 8 个,将输入变量取值为 0 的代以原变量，取值为 1 的代以反变量，则得相应最大项。,简记符号,例如,（2） 最大项的基本性质, 不同的最大项，使其值为 0 的那组变量取值也不同。, 对于变量的同一组取值，任意两个最大项的相加为 1。, 对于变量的同一组取值，全体最大项的积为 0。, 对任意一最大项，只有一组变量取值使它的值为 0， 而其余各种变量取值均使其值为 1。,（3） 最小项与最大项的关系,变量数相同时，下标号相同的最大项和最小项互补，即,例如,(4) 逻辑函数的标准或与式,全部由最大项构成的或与逻辑式称为标准或与式，又称为最大项表达式。,标准或与式中输入变量的排列顺序非常重要，排列顺序一旦确定，就不能任意改变，否则会造成表达式错误。排列顺序一般采用英文字母的自然排列顺序，不能省略。,简写形式,(4) 逻辑函数展开成最大项表达式 方法：反复利用分配律A+BC=(A+B)(A+C)进行变换。任何逻辑函数都有惟一的最大项表达式。,由于逻辑函数的标准表示式是唯一的，所以可根据逻辑函数的真值表，写出逻辑函数标准表示式。,逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。,(1)找出函数值为 1 的项。 (2)将这些项中输入变量取值为 1 的用原变量代替， 取值为 0 的用反变量代替，则得到一系列与项。 (3)将这些与项相加即得逻辑式。,反函数逻辑式为,则逻辑式,实质上就是找出函数值为 0 的项，将这些项中输入变量取值为 1 的用反变量代替， 取值为 0 的用原变量代替，则得到一系列或项。将这些或项相与即得标准或与式。,例 已知逻辑函数 Y 的真值表如下，试给出标准与 - 或式和标准或 - 与式。,（1）找出真值表中 Y = 1 对应的最小项，,解：,（2）找出真值表中 Y = 0 对应的最大项，则标准或 - 与式为,则标准与 - 或式为,同一逻辑函数，在标准与 - 或式中已有的最小项编号，则在标准或 - 与式中的最大项序号恰好是没有的最小项编号。,同一个逻辑函数除了用标准与或式和标准或与式描述外，还可以用其它类型的逻辑式描述(统称非标准式)。,3逻辑函数的非标准式,常见的非标准式有与或式、或与式、与非与非式、或非或非式、与或非式。下面是表示示例和各表达式之间的转换 ：,逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。,例如,与或表达式,或与表达式,与非 - 与非表达式,或非 - 或非表达式,与或非表达式,转换方法举例,如何将逻辑式转化为 标准与-或式呢 ？,例 将逻辑式 化为标准与 - 或式。,(3) 利用A+A=A，合并掉相同的最小项。,= m0 + m1 + m12 + m13 + m15,=m (0,1,12,13,15),解：(1) 利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与 - 或式。,AB,+,(2) 利用配项法化为标准与 - 或式。,在无约束条件的逻辑函数的表示式基础上，增加约束条件逻辑表示式，就是带约束条件的逻辑函数的表示式。带约束条件的逻辑函数表示式也分标准式和非标准式两大类。,3具有约束条件的逻辑函数表示式,（1）标准式,约束条件就是某些变量取值组合不可能出现，或者某些变量取值组合对应的函数值不唯一，这些取值组合对应的最小项称为约束项，亦称无关项。为了使用方便，需要将约束项进行编号，常用di 表示。约束项下标i的编号规则类似最小项下标i的编号规则。,【例3-2】某四变量逻辑函数，其中变量A、B、C、D为表示1位十进制数X的8421BCD码，当4X8时，逻辑函数Y为1；否则Y为0。试列出该逻辑函数的真值表，并给出具有无关项逻辑函数的标准与或式。,解：由于变量A、B、C、D取值为8421BCD码，10101111取值组合不可能出现，由已知条件4X8时，逻辑函数Y为1列出该逻辑函数的真值表，,逻辑函数的真值表,由真值表写出对应的则具有无关项逻辑函数的标准与或式（简写形式）：,标准或与式（简写形式）：,类似普通代数中函数的约束条件表示方法，逻辑代数中的约束条件也可以采用与逻辑函数分开，单独用与项（也可以或项）表示，称约束条件的非标准表示式。,（2）非标准式,也可单独用或项表示为：,对上述【例3-2】例子四变量（A,B,C,D）的约束条件分析，可得出： A、B都取1，而C,D任意取0或1的四种组合不可能出现；A取1，B取0， C取1，D任意取0或1的两种组合不可能出现，则约束条件可单独用与项表示为：,将逻辑图形符号取代逻辑表达式中的逻辑运算符号，并完成相应连接，称为逻辑图。,3.4.3 逻辑图表示,逻辑图就是实现逻辑运算的电路图，每一个逻辑运算符号在逻辑电路中就是一个最基本的单元电路，称为门电路。,、,“举重判决”的逻辑图,运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。,例如 画 的逻辑图,（1） 相邻最小项,两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。,相邻最小项重要特点：,两个相邻最小项相加可合并为一项， 消去互反变量，化简为相同变量相与。,将 n 变量的 2n 个最小项用 2n 个小方格表示， 并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻， 这样排列得到的方格图称为 n 变量最小项卡诺图， 简称为变量卡诺图。,（2） 变量卡诺图,3.4.4 卡诺图表示,1 卡诺图的标准形式,变量取 0 的代以反变量 取 1 的代以原变量,二 变 量 卡 诺 图,0 1,0 1,0 0,0 1,m0,m1,m2,m3,四 变 量 卡 诺 图,三 变 量 卡 诺 图,0 1,00 01,11,10,m6,m7,m4,m2,m3,000,m0,m5,001,m1,以循环码排列以保证相邻性,变量取 0 的代以反变量 取 1 的代以原变量,卡诺图特点： 循环相邻性,五变量及以上卡诺图，由于小方格太多，反而显得复杂。,用卡诺图表示逻辑函数举例,已知 标准 与- 或 式画 函数 卡诺 图,试画出函数 Y(A,B,C,D) = m (0,1,12,13,15) 的卡诺图,解： (1) 画出四变量卡诺图,(2) 填图,逻辑式中的最小项 m0、m1、m12、m13、m15 对 应的方格填 1，其余不填或填 0 。,2 卡诺图表示逻辑函数,已知 标准 与- 或 式画 函数 卡诺 图,试画出函数 Y(A,B,C,D) = m (0,1,12,13,15) + d (2,3,14)的卡诺图,解： (1) 画出四变量卡诺图,(2) 填图,逻辑式中m0、m1、m12、m13、m15 对应的方格填 1; m2、m3、m14对应的方格填 ; 其余不填或填 0 。,已 知 一 般 表 达 式 画 函 数 卡 诺 图,解：(1) 将逻辑式转化为与 - 或式,(2) 作四变量卡诺图,找出各与项所对应的最小项方格填 1，其余不填。,例 已知 ，试画出 Y 的卡诺图。,AB,+,(3) 根据与 - 或式填图,AB 对应最小项为同时满足 A = 1， B = 1 的方格。,已 知 真 值 表 画 函 数 卡 诺 图,例 已知逻辑函数 Y 的 真值表如下，试画 出 Y 的卡诺图。,解：(1) 画 3 变量卡诺图。,(2)找出真值表中 Y = 1 对应的最小项，在 卡诺图相应方格中 填 1，其余不填。,例 图示为控制楼道照明的开关电路。两个单刀双掷开关 A 和 B 分别安装在楼上和楼下。上楼之前，在楼下开灯，上楼后关灯；反之，下楼之前，在楼上开灯，下楼后关灯。试画出控制功能与之相同的逻辑电路。,(1) 分析逻辑问题，建立逻辑函数的真值表,(2) 根据真值表写出逻辑式,解：,方法： 找出输入变量和输出函数， 对它们的取值作出逻辑规定， 然后根据逻辑关系列出真值表。,设开关 A、B合向左侧时为 0 状态，合向右侧时为 1 状态；Y 表示灯，灯亮时为 1 状态，灯灭时为 0 状态。则可列出真值表为,(3) 画逻辑图,与或表达式(可用 2 个非门、 2 个与门和 1 个或门实现),异或非表达式(可用 1 个异或门和 1 个非门实现),=B,3.5 逻辑代数的三个规则,1. 代入规则,A A A,利用代入规则能扩展基本定律的应用。,将逻辑等式两边的某一变量用同一个逻辑函数或变量替代，等式仍然成立。,变换时注意： (1) 不能改变原来的运算顺序。 (2) 反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非 号保持不变。,求逻辑函数的反函数还有一种方法：利用摩根定律。,原运算次序为,2. 反演规则,对任一个逻辑函数式 Y，将“”换成 “+”，“+”换成“”，“0”换成“1”， “1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量 换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数 。,如果逻辑函数为编号表示的标准最小项或最大项表达式，一般不采用反演规则求反函数。若原函数为标准的最小项表达式，则反函数中的最小项编号就是原函数中没有的最小项编号。,例,反函数,3. 对偶规则,对任一个逻辑函数式 Y，将“”换成“+”，“+”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到原逻 辑函数式的对偶函数 Y 。,两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。,变换时注意：(1) 变量不改变 (2) 不能改变原来的运算顺序,对偶函数为,如果逻辑函数为编号表示的标准最小项或最大项表达式，一般不采用对偶规则求对偶函数。可根据最小项与最大项的对偶关系:若n变量的最小项编号mi，对应对偶式的最大项编号Mj ，则,例,根据上述关系，若n变量原函数为标准的最小项表达式，对应的对偶函数采用标准的最大项表达式，则对偶函数的最大项编号由上式确定；对应的对偶函数仍采用标准的最小项表达式，则对偶函数的最小项编号就是对偶函数的标准最大项表达式中的没有的最大项编号。,对偶函数,主要要求：,理解最简与 - 或式和最简与非式的标准。,掌握逻辑函数的卡诺图化简法。,3.6 逻辑函数的化简方法,掌握逻辑函数的代数化简法。,3.6.1逻辑函数式化简的意义与标准,化简意义,使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路， 从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提 高系统可靠性。,不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取 最简与 - 或式，然后通过变换得到所需最简式。,1 最简与 - 或式标准,(1)乘积项(即与项)的个数最少 (2)每个乘积项中的变量数最少,用与门个数最少 与门的输入端数最少,2 最简与非式标准,(1)非号个数最少 (2)每个非号中的变量数最少,用与非门个数最少 与非门的输入端数最少,3 最简或 -与式标准,(1)相加项(即或项)的个数最少 (2)每个相加项中的变量数最少,用或门个数最少 或门的输入端数最少,3.6.2公式化简法,运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。,并项法,运用 ， 将两项合并为一项，并消去一个变量。,吸收法,运用A+AB =A 和 ，消去多余的与项。,消去法,运用吸收律 ，消去多余因子。,配项法,通过乘 或加入零项 进行配项，然后再化简。,综合灵活运用上述方法,例 化简逻辑式,解：,应用,例 化简逻辑式,解：,应用,应用 AB,例 化简逻辑式,解：,应用,用摩根定律,例 化简逻辑式,解：,例 化简逻辑式,解：,先将或 与式变换成与 或式（用对偶规则）,再取对偶还原,公式法化简对逻辑函数变量的的个数没限制。,有时化简结果较难判定是否为最简，且最简结果也不一定是唯一的。,或 与式化简,代数 化简法,优点：对变量个数没有限制。 缺点：需技巧，不易判断是否最简式。,卡诺图 化简法,优点：简单、直观，有一定的步骤和方法 易判断结果是否最简。 缺点：适合变量个数较少的情况。 一般用于四变量以下函数的化简。,代数化简法与卡诺图化简法的特点,3.6.3 卡诺图化简法,化简规律,2 个相邻项合并消去 1 个变量，化简结果为相同变量相与。,4 个相邻项合并消去 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。,8 个相邻项合并消去 3 个变量,画包围圈规则,包围圈必须包含 2n 个相邻 1 方格。先圈小再圈大，圈越大越是好；1 方格可重复圈，但须每圈有新 1；每个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。,同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈； 同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈； 四个角上的 1 方格也循环相邻，可画圈。,注意,卡诺图中含无关项方格的处理原则：,无关项的取值对逻辑函数值没有影响。为了使卡诺图中相邻1方格画包围圈个数最少而且包围圈中相邻1方格的个数最多，卡诺图中的无关项方格应视需要可将无关项方格看作1方格或0方格。,包围圈符合要求,这个包围圈不符合要求,m1