高考数学第8章平面解析几何第8节圆锥曲线的综合问题第2课时范围最值问题教学案

第2课时范围、最值问题范围问题【例1】(2018贵阳监测)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为.(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在一点E，使AEB90，求直线l的斜率k的取值范围解(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有解得a，c，b21，故椭圆C的方程为x21.(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，将直线l：ykx2代入x21，得(3k2)x24kx10，12k212，x1x2，x1x2.x0，y0kx02，|AB|x1x2|，由题意可得解得k413，即k或k.故直线l的斜率k的取值范围是(，)规律方法求参数范围的四种方法(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解.(2)不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数范围.(3)判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用判别式求参数的范围.(4)数形结合法：研究该参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解. (2019临沂摸底考试)已知点F为椭圆E：1(ab0)的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线1与椭圆E有且仅有一个交点M.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线1与y轴交于P，过点P的直线l与椭圆E交于不同两点A，B，若|PM|2|PA|PB|，求实数的取值范围解(1)由题意得a2c，bc，则椭圆E为1.由得x22x43c20.直线1与椭圆E有且仅有一个交点M，44(43c2)0c21，椭圆E的方程为1.(2)由(1)得M，直线1与y轴交于P(0,2)，|PM|2，当直线l与x轴垂直时，|PA|PB|(2)(2)1，由|PM|2|PA|PB|，当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(34k2)x216kx40，依题意得x1x2，且48(4k21)0，k2，|PA|PB|(1k2)x1x2(1k2)1，k2，1，综上所述，的取值范围是.最值问题考法1利用几何性质求最值问题【例2】在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点若点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为_双曲线x2y21的渐近线为xy0，直线xy10与渐近线xy0平行，故两平行线的距离d.由点P到直线xy10的距离大于c恒成立，得c，故c的最大值为.考法2建立函数关系利用基本不等式或二次函数求最值【例3】已知点A(0，2)，椭圆E：1(ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点当OPQ的面积最大时，求l的方程解(1)设F(c,0)，由条件知，得c.又，所以a2，b2a2c21.故E的方程为y21.(2)当lx轴时不合题意，故设l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(14k2)x216kx120.当16(4k23)0，即k2时，x1,2.从而|PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d.所以OPQ的面积SOPQd|PQ|.设t，则t0，SOPQ.因为t4，当且仅当t2，即k时等号成立，且满足0.所以，当OPQ的面积最大时，l的方程为yx2或yx2.考法3建立函数关系利用导数求最值问题【例4】(2017浙江高考)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)x.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解(1)设直线AP的斜率为k，kx，因为x0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程解(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1(舍去)，k1.因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以A