随机过程的基本概念.ppt

第一章 随机过程的基本概念,1.1 基本概念,1.2 有限维分布与柯尔莫哥洛夫定理,1.3 随机过程的数字特征,1.1 基本概念,Ex.1 对某城市的气温进行n年的连续观察, 记录得,一、实际背景,在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做特定时间点上的一次观察,且需要做多次的连续不断的观察,以观察研究对象随时间推移的演变过程.,研究该城市气温有无以年为周期的变化规律?,随机过程的 谱分析问题,Ex.2 从杂乱电讯号的一段观察Y(t),0 t T 中,研究是否存在某种随机信号S(t )?,过程检测,Ex.3 监听器上收到某人的话音记录Z(t),t 试问他是否确实是追踪对象？,过程识别,为(F,P)上的一个随机过程.,定义 设(,F, P)是概率空间, ,若对每个,是概率空间(F,P)上的随机变量,则称这族随机变量,注,1) 称T是参数集(或参数空间),当T=(1,2, ，n),随机向量,当T=(1,2, ,n,),随机时间序列,随机过程是n 维随机变量，随机变量序列的 一般化,是随机变量X(t), 的集合.,用E表示随机过程 的值域,称E为 过程的状态空间.,Ex.4 设(,F, P)是对应于抛均匀硬币的概率空间:,随机过程 可看成定义在积集 上的二元函数,1)当固定 是一个随机变量；,2)当固定 ,作为 的函数， 是一个定义在T上的普通函数.,X(t1,),X(t2,),X(t,1),X(t,2),X(t,3),t1,t2,tn,定义 对每一固定 ，称 是随机过程 的一个样本函数.,也称轨道,路径,现实.,Ex.5 利用抛硬币的试验定义一个随机过程，,设出现正反面的概率相同 ,写出 X(t) 的所有样本函数.,解,记 1= 出现正面,2= 出现反面,则X(t)的所有现实为,x(1,t)= cost,和 x(2, t)= 2t.,1、分布函数定义,对任意 ,二维随机变量(X(s),X(t)联合分布函数,定义1 随机过程 ，对,随机变量X(t)的分布函数,称为过程XT 的一维 分布函数.,二、有限维分布与柯尔莫哥洛夫定理,称为XT 的二维分布函数族.,定义2 过程 对任给的,随机向量,的联合分布函数,称为过程的n 维分布函数.记,称F为XT 的有限维分布函数族.,定义3 过程 的n 维特征函数定义为,特征函数和分布函数是相互唯一确定.,称,为XT 的有限维特征函数族.,2. 随机过程存在定理,随机过程的有限维分布函数族满足以下 两个性质 （1）对称性,对1,2,n 的任一排列j1, j2, , jn,均有,对任意固定的自然数mn,均有,（2）相容性,注,联合分布函数能完全确定边缘分布函数.,因事件乘积满足交换律.,注,类似地,随机过程的有限维特征函数满足:,1) 对1,2,n的任一排列j1 , j2 , , jn 有,2) 对任意固定的自然数mn,均有,3、随机过程存在定理(柯尔莫哥罗夫),如果分布函数族,满足条件(1)和(2),则存在一个概率空间上的一个随机过程,其有限维分布函数族恰为,即有,在实际应用中,很难确定出随机过程的有限维 分布函数族,过程的数字特征能反映其局部统计性 质.,1、均值函数、方差函数及相关函数,定义 给定随机过程 ,称,为过程XT的均值函数.,需确定各类数字特征随时间的变化规律.,三、随机过程的数字特征,定义 给定随机过程 ,称,为过程XT的方差函数.,称 为过程XT的均方差函数.,需要描述不同时刻过程状态的关联关系.,定义 给定随机过程 ,称,为过程XT的协方差函数.,有,定义 给定随机过程 ,称,为过程XT的自相关函数.,有,特别当 时,XT是零均值过程,称,为过程XT的自相关系数.,定义 给定两个随机过程 称,为 和 的互协方差函数。称,为 和 的互相关函数。,Ex.1 设p,q是两个随机变量, 构成随机过程,均值函数为,自相关函数为,若p,q相互独立，且均服从分布N(0,1)，则,Ex.2 设随机过程,其中是正常数, 随机变量A 与相互独立, A N(0,1), U(0, 2).试求过程的均值函数和相关 函数.,解,随机变量函数的数学期望公式,2、复随机过程,复随机过程 的均值函数为,方差函数为,自相关函数为,自协方差函数为,互协方差函数为,四、随机过程的分类,1. 按状态空间和参数集进行分类,1) T, E 均为可列集;,2) T 是可列集, E 不可列;,3) T 不可列, E 为可列集;,4) T, E 均不可列.,当T为可列集,称为离散参数随机过程, 随机 序列, 时间序列.,当E 为可列(或有限)集,称为离散状态随机过 程.,2. 按概率结构进行分类,1) 二阶矩过程,若过程 对每一个 , 的 二阶矩都存在.,2) 平稳过程,定义：设 为一平稳过程（或平稳序列），若,或,则称X的均值具有遍历性。此处极限为均方意义，即,平稳过程的遍历性,若,或,则称X的协方差具有遍历性。若一个随机过程的均值和协方差函数都具有遍历性，则称随机过程具有遍历性。,定理（均值遍历性定理） （1）设X=Xn,n=0, 1, 2, 是平稳序列，其协方差函数为 ，则X有遍历性的充要条件是,（2）设X=Xt,-t+ 是平稳过程，则X有遍历性的充要条件是,给出连续型的证明：,做变换,则Jacobi行列式的值为,积分区域变为,所以有,推论1：若,则均值遍历性定理成立。,证明：因为，当 时，有,推论2：对于平稳序列而言，若,则均值遍历性定理成立。,证：给出离散型情形，由Stoltz定理,令,定理（协方差函数遍历性定理）,设X=Xt,-t+ 是平稳过程，其均值函数为零，则协方差函数有遍历性的充要条件是,其中,例 设 ，则 的均值有遍历性。 证明 其均值为,其协方差函数为,所以， 是平稳过程