辽宁工业大学高数习题课8-2.ppt

第八章 多元函数微分法及其 应用习题课（二）,多元函数微分法的应用,一、多元函数微分法在几何上的应用,1空间曲线的切线与法平面,切线方程：,法平面方程：,切线方程：,法平面方程：,切线方程和法平面方程可转化为第(2)种形式，,求出 即可.,(2) , 则 在点 处,2曲面的切平面与法线,切平面方程：,法线方程：,切平面方程：,法线方程：,(2) , 则 在点 处,(1) , 则 在点 处,3典型例题,分析：此曲线为参数方程, 只需求出切向量为 再求出切点，即可得切线及法平面方程。,解： 因,故在点 处的切向量为,所求切线方程为,法平面方程为,即,【例2】求曲线 在点 处的切 线及法平面方程。,所求切线方程为,法平面方程为,解： 视 为参数, 则切向量为 ;,由 , 得 ,故在点 处的切向量为 .,由 得 ;,解： 将所给方程的两边同时对 求导得,【例3】求曲线 在点 处的切线及法平面方程.,因此所求切线方程为,法平面方程为,即,则曲线在点 处的切向量为,解得,从而所求切平面方程为,即,法线方程为,【例4】求曲面 在点 处的切平面及法线方程.,分析：此曲面可看成 的形式, 只需,求出法向量 , 即可求出切平面及法线方程.,故切平面方程为,即,法线方程为,【例5】求旋转抛物面 在点 处的切平面及 法线方程.,分析：此曲面可看成 的形式, 只需求出 法向量 , 即可求出切平面及法线方程.,解：设 , 则,依题意，切平面平行于已知平面，因此有,即,【例6】* 求曲面 平行于平面 的方程.,解：设 为曲面上的一点, 则曲面在该点处的法向量为:,又因 是曲面上的点, 代入曲面方程有,故得,从而得所求切点为,所求切平面方程为,即,或,即,或,二、多元函数的极值及其求法,1基本概念,(1) 二元函数的极值：,则称 为函数 的极大(小)值.,(2) 驻点：使 , 的点.,2判别驻点为极值点的条件：,令,极大值,极小值,则 在点 是否取得极值条件如下:, 时具有极值,且, 时没有极值;, 时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论.,3多元函数极值的类型及求法,多元函数的极值,无条件极值,条件极值,(1) 无条件极值求法步骤：,求 , 得全部驻点.,求 , ,(2) 条件极值求法：(拉格朗日（Lagrange）乘数法),求出极值。,求函数 在条件 下极值的步骤:,构造辅助函数,求解,得出 ,就是可能的极值点.,4典型例题,解： 解方程组,得驻点,又,所以,故,【例7】求函数 的极值.,因此 在点 处取得最小值, 且为,分析： 利用函数取极值的充分条件即可证明。,证明：因为,又因为,故原点 是函数 的驻点.,所以 ,由于,所以,又,所以函数 在原点一定 有极小值.,从而 , ,求解,所以，函数的极大值为,得 为唯一驻点.,【例9】求函数 在适合附加条件 下的极大值.,解：构造辅助函数,（1）先求函数在 内的驻点，解方程组,在边界 和 上, ;,解:令,得区域 内唯一驻点(2，1)，且,（2）再求 在边界 上的最值.,由,得,则,比较后可知 为最大值, 为最小值.,在边界 , 即 ; 此时有,分析：设 为椭圆上任一点, 则 到原点的距离为,. 又 点既在抛物面上, 又在已知平面上,解：设 为椭圆上任一点，则它到原点的距离为,令