统计推断准备1.ppt

第一章 统计推断准备,0.预备知识 0.1 大数定律与中心极限定理 阐明大量随机现象平均结果的稳定性的一系列定理统 称大数定律，而研究独立随机变量的和的极限分布在 什么条件下为正态分布的一类定理叫中心极限定理。 0.1.1车贝雪夫不等式 设随机变量 有期望 和方差 ，则对任意 ，有,0.1.2大数定律 定义：若 随机变量序列，如果存在常数列 使得对任意的 有 成立，则称随机变量序列 服从大数定律. 定理1（贝努里大数定律）设 是n重贝努里试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p（0p1），则对任意的 ，有：,定理2（车贝雪夫大数定律）设 是一列两两不相关的随机变量，又设他们的方差有界，既存在常数C0，使有 则对任意的 ，有 例1.： 设 为独立同分布的随机变量序列，均服从参数为 的泊松分布 则 定理3（辛钦大数定律）设 是一列独立同分布的 随机变量，且数学期望存在， 则对任意的 有,0.1.3.中心极限定理 定理1（林德贝格-勒维定理）若 是独立同分布 的随机变量序列，且 则随机变 量 ，其中 的分布函数 对一切x， 有： 即随机变量 渐近地服从标准正态分布。 定理2（德莫佛-拉普拉斯定理）设 是n重贝努里试验中事件A出现的次数，而0p1是事件A在每次试验中出现的概率，则 渐近的服从正态分布 ，其中q=1-p或,例2：有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3米，现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3米的概率是多少？ 例3：某车间有200台车床，独立工作，开工率为0.6，开工时耗电各为1000瓦，问供电部门至少要供给这个车间多少电力才能使99.9%的概率保证这个车间不会因为供电不足而影响生产。 例4：一加法器，同时收到20个噪声电压 设他们是相互独立的，且在区间（0，10）上服从均匀分布的随机变量，记 ，求,1基本概念 1.1总体与样本,总体：研究对象的全体，记为X或 ，是指一个随机变量。 个体：组成总体的每个单元。 样本：就是n个相互独立且与总体有相同概率分布的随机变量 ，i=1，2，n，所组成的n维随机变量 样本值：每一次具体的抽样所得的数据就是n个随机变量的值（样本值）用小写字母 表示。 注：样本具有双重性，即它本身是随机变量，但一经抽取便是一组确定的具体值。 定义：若随机变量 相互独立且每个 ，i=1，2，n，与总体 有相同的概率分布，则称随机变量 为来自总体 的容量为n的简单随机样本，称 ，i=1，2，n为样本的第i个分量。若 有分布密度 （或分布函数 ）则 称 是来自总体 （或 ）的样本.,1.2统计量 定义：设 为总体 的一个样本， 为一个实值函数，如果T中 不包含任何未知参数，则称 为一个统计量。统计量的分布称为抽样分布。 例如：总体 ，a已知， 未知， 为 的一个样本，则 是统计量，但 不是统计量。 1.3顺序统计量及经验分布 1.3.1顺序统计量 设 为总体， 的一个样本，将其诸分量 ，i=1，2，n，按由小到大的次序重新排列为 ，即 ，称 为总体的第k个顺序统计量（次序统计量），特别 称为最小项统计量， 为最大项统计量。,例1.5：设有一个总体，它以等概率取0，1，2三个值，现从此总体中取容量为2的一个样本 ， 列出样本 所有可能取值情况和相应的次序统计量 的情况。,1.3.2经验分布 由给定的样本 定义一个函数， 此函数的性质： （1）当样本固定时，作为x的函数是一个阶梯形的分布函数， 恰为样本分量不大于x的频率。 （2）当x固定时，它是一个统计量，其分布由总体的分布所确定。 即 （二项分布） 称 为总体对应于样本 的经验分布函数。,1.4常用的一些统计量 1.4.1样本的分位数 设 为总体， 为样本， 为顺序统计量，定义 称 为样本的 分位数。当 =1/2时，称 为样本的中位数。（也用 表示） 例1.6：若 （1.5，2.0，4.0，0，8，3.5，9）， 则 ？ 1.4.2.样本的极差 称为样本的极差,1.4.3样本分量的秩 若 ，则称 的秩为j，记作 ，它表示样本第 个分量 ，处于顺序统计量中的位次。 1.4.4.样本矩 设 为总体 取出的容量为n的样本， 统计量 叫样本均值； 统计量 叫样本方差 （而称 叫修正的样本方差）； 统计量 ，（r =1，2，）叫样本的r阶原点矩； 统计量 ，（r =